Funciones — relación de ejercicios
Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.
Ejercicios básicos
1. Para \(f(x)=2x^2-3x+1\) calcula \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\) y \(f\left(\frac{1}{2}\right)\).
2. Indica si cada correspondencia es una función: a) a cada persona, su DNI b) a cada número, sus divisores positivos c) a cada día del año, la temperatura máxima en Sevilla d) a cada DNI, la persona que lo tiene.
3. Halla el dominio de: a) \(f(x)=\dfrac{3}{x-5}\) b) \(g(x)=\sqrt{x+4}\) c) \(h(x)=x^2-9\) d) \(k(x)=\dfrac{1}{x^2-4}\).
4. Completa la tabla de valores de \(f(x)=x^2-2x\) para \(x=-2,-1,0,1,2,3\) e indica el mínimo.
5. Halla los puntos de corte con los ejes de \(f(x)=x^2-x-6\).
6. Calcula la tasa de variación media de \(f(x)=x^2+1\) en \([1,3]\) y en \([-2,0]\) e interpreta el signo.
7. Una función cumple \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\). ¿Qué simetría tiene su gráfica? Comprueba si \(f(x)=x^2-3\) y \(g(x)=x^3-x\) son pares, impares o ninguna.
8. Esta tabla muestra los kilómetros recorridos por un ciclista: \(t\) (h): \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\); \(e\) (km): \(0,\ 18,\ 36,\ 54,\ 72\). ¿Es proporcional? ¿Cuál es la fórmula y la velocidad?
9. Interpreta: \(f(x)\) es la cantidad de agua (en litros) de un depósito en el instante \(x\) (en horas), con \(f(0)=500\), \(f(2)=300\) y \(f(5)=0\). ¿Qué significa cada dato? ¿Cuál es la T.V.M. en \([0,5]\)?
10. Esboza (con una tabla) la gráfica de \(f(x)=\dfrac{4}{x}\) para \(x=-4,-2,-1,1,2,4\). ¿Está definida en \(x=0\)?
Problemas
11. Un taxi cobra \(2{,}5\) € de bajada de bandera y \(1{,}1\) € por km. Escribe la fórmula \(C(x)\) del coste, calcula \(C(10)\) e indica el dominio razonable.
12. Una piscina se vacía a razón de \(40\) L por minuto. Tiene \(2\,000\) L. Escribe \(V(t)\), calcula cuándo queda vacía y di el dominio y recorrido.
13. La temperatura (°C) a las \(0,\ 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24\) horas fue \(11,\ 8,\ 12,\ 19,\ 23,\ 17,\ 12\). Indica el máximo, el mínimo, los intervalos de crecimiento y la T.V.M. entre las \(8\) y las \(16\) h.
14. Para \(f(x)=x^2-4x+3\) calcula: \(f(2)\), los puntos de corte con los ejes y el intervalo donde la función es negativa (observa dónde queda por debajo del eje \(OX\)).
15. El perímetro de un rectángulo es \(20\) m. Expresa su área \(A(x)\) en función de uno de sus lados \(x\) y calcula \(A(2)\), \(A(5)\) y \(A(8)\). ¿Para qué lado parece máxima?
16. Una empresa de alquiler de bicis cobra \(4\) € por la primera hora y \(2\) € por cada hora adicional (o fracción). Escribe en una tabla el coste para \(1,\ 2,\ 3,\ 4\) horas, la fórmula y calcula el coste de un día de \(8\) horas.
17. La función \(f\) cumple \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), \(f(3)=7\) y \(f(4)=9\). Halla una fórmula, calcula \(f(10)\) y estudia si la T.V.M. es constante.
18. ¿Cuál es el dominio de \(f(x)=\sqrt{3x-6}\)? Calcula \(f(2)\), \(f(5)\) y \(f(14)\).
19. Una población de bacterias se cuadruplica cada hora. Parte de \(10\). Haz una tabla para \(t=0,1,2,3,4\) y calcula la T.V.M. en \([0,2]\) y en \([2,4]\). ¿Crece de forma constante?
20. Un empleado cobra \(10\) €/h las primeras \(40\) horas semanales y \(15\) €/h a partir de ahí. Escribe \(S(h)\) como función a trozos y calcula lo que cobra con \(30\) y con \(46\) horas.
Competenciales
21. El consumo del coche. Un coche gasta \(5{,}5\) L cada \(100\) km y tiene un depósito de \(50\) L, lleno al empezar. a) Escribe la fórmula del combustible que queda tras \(x\) km. b) ¿Cuántos km recorre hasta que queda vacío? c) Dibuja la gráfica (en una tabla) y di dominio y recorrido.
22. La subida a un puerto. La altitud (m) de un ciclista en una etapa, cada \(10\) km, es \(200,\ 350,\ 700,\ 1400,\ 1200,\ 400\) (en \(0,10,20,30,40,50\) km). a) ¿Cuál es el punto más alto y a qué km? b) Calcula la T.V.M. en cada tramo de \(10\) km. c) ¿En qué tramo es más dura la subida?
23. El agua del grifo. Un depósito se llena así: durante las primeras \(2\) horas entra agua a \(30\) L/h; después se cierra el grifo \(1\) hora; luego se abre otro a \(60\) L/h durante \(2\) horas. a) Calcula el volumen en \(t=0,2,3,5\). b) Describe la gráfica por tramos. c) ¿Cuántos litros hay al final?
24. Dos funciones, una decisión. El gimnasio A cobra \(f(x)=20+2x\) al mes (\(x\) = número de visitas) y el gimnasio B cobra \(g(x)=6x\) al mes. a) Haz una tabla para \(x=0,2,5,8,10\). b) ¿Para qué \(x\) cuestan lo mismo? c) ¿Cuál conviene si vas 3 veces por semana (unas \(12\) visitas al mes)?
Soluciones
\(f(0)=1\). \(f(2)=8-6+1=3\). \(f(-1)=2+3+1=6\). \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0\).
- Sí: cada persona tiene un único DNI. b) No: un número tiene varios divisores (el \(6\) tiene \(1,2,3,6\)). c) Sí: a cada día le corresponde una única temperatura máxima. d) Sí: un DNI identifica a una única persona.
- \(x\neq5\): \(\mathbb{R}\setminus\{5\}\). b) \(x+4\geq0\): \([-4,+\infty)\). c) \(\mathbb{R}\). d) \(x^2\neq4\): \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).
\(f(-2)=8\), \(f(-1)=3\), \(f(0)=0\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=0\), \(f(3)=3\). El valor más pequeño es \(f(1)=-1\): mínimo en \((1,-1)\).
Con \(OY\): \(f(0)=-6\), punto \((0,-6)\). Con \(OX\): \(x^2-x-6=0\Rightarrow x=\frac{1\pm5}{2}=3\) o \(-2\). Puntos \((3,0)\) y \((-2,0)\).
\([1,3]\): \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{10-2}{2}=4\) (crece). \([-2,0]\): \(\frac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)}=\frac{1-5}{2}=-2\) (decrece).
Simetría respecto del eje \(OY\) (función par). \(f(-x)=x^2-3=f(x)\): par. \(g(-x)=-x^3+x=-g(x)\): impar.
El cociente \(e/t\) es siempre \(18\): es una proporcionalidad directa, \(e=18t\) y la velocidad es \(18\) km/h.
Al principio hay \(500\) L; a las \(2\) h quedan \(300\) L; a las \(5\) h está vacío. T.V.M. \(=\frac{0-500}{5}=-100\): pierde \(100\) L por hora de media.
\(f(-4)=-1\), \(f(-2)=-2\), \(f(-1)=-4\), \(f(1)=4\), \(f(2)=2\), \(f(4)=1\). No está definida en \(x=0\): la gráfica tiene dos ramas.
\(C(x)=2{,}5+1{,}1x\). \(C(10)=2{,}5+11=13{,}5\) €. Dominio: \(x\geq0\) (los km no pueden ser negativos).
\(V(t)=2000-40t\). Vacía: \(2000-40t=0\Rightarrow t=50\) min. Dominio \([0,50]\); recorrido \([0,2000]\).
Máximo: \(23\) °C a las \(16\) h. Mínimo: \(8\) °C a las \(4\) h. Crece de \(4\) a \(16\) h; decrece de \(0\) a \(4\) h y de \(16\) a \(24\) h. T.V.M. \(=\frac{23-12}{16-8}=1{,}375\) °C/h.
\(f(2)=4-8+3=-1\). Cortes: \((0,3)\) y \(x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1,\ 3\). Es negativa entre las raíces: \((1,3)\).
Otro lado \(10-x\). \(A(x)=x(10-x)\). \(A(2)=16\), \(A(5)=25\), \(A(8)=16\). El máximo parece en \(x=5\) (cuadrado de lado \(5\)).
Costes: \(4,\ 6,\ 8,\ 10\) €. Fórmula: \(C(h)=4+2(h-1)=2h+2\). Para \(8\) horas: \(C(8)=18\) €.
Las diferencias son \(2\): \(f(x)=2x+1\). \(f(10)=21\). La T.V.M. en cualquier intervalo es \(2\): es una recta.
\(3x-6\geq0\Rightarrow x\geq2\): \([2,+\infty)\). \(f(2)=0\), \(f(5)=3\), \(f(14)=6\).
\(N(t)=10\cdot4^t\): \(10,\ 40,\ 160,\ 640,\ 2560\). T.V.M.\([0,2]=\frac{160-10}{2}=75\); T.V.M.\([2,4]=\frac{2560-160}{2}=1200\). No crece de forma constante: cada vez más rápido.
\(S(h)=10h\) si \(h\leq40\); \(S(h)=400+15(h-40)\) si \(h>40\). \(S(30)=300\) €. \(S(46)=400+90=490\) €.
- \(f(x)=50-0{,}055x\). b) \(50-0{,}055x=0\Rightarrow x=909{,}1\) km, unos \(909\) km. c) \(f(0)=50\), \(f(400)=28\), \(f(909)\approx0\). Dominio \([0,909]\) y recorrido \([0,50]\).
- \(1400\) m en el km \(30\). b) Tramos: \(15,\ 35,\ 70,\ -20,\ -80\) m por km. c) El más duro es el km \(20\)–\(30\) (sube \(70\) m por km de media, un \(7\,\%\) de pendiente).
- \(V(0)=0\), \(V(2)=60\), \(V(3)=60\), \(V(5)=60+120=180\) L. b) Tramo recta creciente (\(30\) L/h), tramo constante, tramo recta creciente más inclinada (\(60\) L/h). c) \(180\) L.
- A: \(20,\ 24,\ 30,\ 36,\ 40\); B: \(0,\ 12,\ 30,\ 48,\ 60\). b) \(20+2x=6x\Rightarrow x=5\) visitas. c) Con \(12\): A cuesta \(44\) € y B \(72\) €: conviene A.
