Cuerpos geométricos — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Comprueba la relación de Euler (\(C+V=A+2\)) en un prisma pentagonal y en una pirámide hexagonal. Indica caras, vértices y aristas de cada uno.

2. Calcula el volumen, el área total y la diagonal de un ortoedro de \(6\times4\times3\) cm.

3. Un cubo tiene \(150\) cm² de área total. Calcula su arista y su volumen.

4. Calcula el volumen y el área total de un prisma recto de base triangular rectángulo con catetos \(3\) y \(4\) cm y altura \(10\) cm.

5. Una pirámide regular tiene base cuadrada de \(10\) cm de lado y altura \(12\) cm. Calcula la apotema de la pirámide, el área total y el volumen.

6. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de radio \(4\) cm y altura \(9\) cm (deja el resultado con \(\pi\) y aproximado).

7. Un cono tiene radio \(5\) cm y altura \(12\) cm. Calcula la generatriz, el área total y el volumen.

8. Calcula el área y el volumen de una esfera de radio \(6\) cm. ¿Qué ocurre con el volumen si el radio se duplica?

9. Pasa a litros: a) \(2\,500\) cm³ b) \(0{,}8\) m³ c) \(350\) dm³. Pasa a cm³: d) \(1{,}2\) L.

10. Una esfera de \(10\) cm de diámetro está dentro de un cubo de \(10\) cm de arista, tangente a sus caras. ¿Qué fracción del volumen del cubo ocupa la esfera (en %)?

Problemas

11. Una piscina rectangular mide \(12\times5\) m y tiene \(1{,}6\) m de profundidad. a) ¿Cuántos litros de agua caben? b) Si se llena hasta \(10\) cm del borde, ¿cuántos litros? c) ¿Cuántos azulejos de \(10\times10\) cm hacen falta para revestir el suelo y las paredes?

12. Una lata de refresco cilíndrica tiene \(6{,}6\) cm de diámetro y \(11{,}5\) cm de altura. ¿Cuántos mililitros caben? ¿Cuánto metal (área total) lleva?

13. Un depósito cilíndrico de \(2\) m de diámetro y \(3\) m de altura se llena con una manguera que echa \(50\) L por minuto. ¿Cuántas horas tarda?

14. Un helado tiene forma de cono (radio \(3\) cm, altura \(10\) cm) rematado por media esfera del mismo radio. Calcula su volumen.

15. Una tienda de campaña tiene forma de pirámide regular de base cuadrada de \(2\) m de lado y altura \(1{,}5\) m. Calcula la tela necesaria para las cuatro caras y el volumen interior.

16. Se funde una esfera de plomo de \(3\) cm de radio para hacer cubitos de \(1\) cm de arista. ¿Cuántos cubitos salen, como máximo?

17. Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, \(1\,000\) cm³. ¿Cuál tiene menos superficie? Calcúlala en cada caso.

18. Una vela cónica de \(12\) cm de altura y \(4\) cm de radio se funde y se vuelve a moldear como una vela cilíndrica del mismo radio. ¿Qué altura tiene la nueva vela?

19. Una pirámide de Egipto (base cuadrada de \(230\) m de lado y altura \(147\) m) se quiere comparar con un prisma de la misma base y altura. ¿Qué volumen tienen? ¿Qué fracción es la pirámide?

20. Se pinta una columna cilíndrica de \(0{,}4\) m de radio y \(3\) m de altura (sin las bases). ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar? Si un bote cubre \(8\) m², ¿cuántos botes se necesitan para \(12\) columnas?

Competenciales

21. El depósito de agua del instituto. El instituto tiene un depósito cilíndrico de \(2{,}4\) m de diámetro y \(2{,}5\) m de altura. a) Calcula su capacidad en litros. b) El consumo diario es de \(1\,800\) L; ¿para cuántos días llega si está lleno? c) Si baja el nivel hasta \(1\) m de altura, ¿cuántos litros quedan?

22. Un envase. Un fabricante de cereales compara dos cajas de \(1\,000\) cm³: una en forma de ortoedro de \(10\times10\times10\) cm (cubo) y otra de \(20\times10\times5\) cm. a) Calcula la superficie de cartón de cada una. b) ¿Cuál gasta menos cartón? c) Si el cartón cuesta \(0{,}0004\) €/cm², ¿cuánto se ahorra al fabricar \(10\,000\) cajas de la mejor?

23. Latas y cajas. Una caja de cartón de \(30\times20\times12\) cm se llena con latas cilíndricas de \(6\) cm de diámetro y \(12\) cm de altura, colocadas de pie. a) ¿Cuántas latas caben en la base? b) ¿Qué volumen ocupan las latas y qué fracción del volumen de la caja es? c) ¿Cuántos litros de refresco hay en la caja si las latas se llenan al \(95\,\%\)?

24. La Tierra y la naranja. La Tierra se puede aproximar por una esfera de radio \(6\,371\) km. a) Calcula su superficie (en notación científica, km²). b) Si el \(71\,\%\) está cubierto por agua, ¿cuánta superficie es tierra firme? c) Una naranja de \(4\) cm de radio es una esfera semejante: ¿qué escala hay entre la Tierra y la naranja?

Soluciones

Prisma pentagonal: \(7\) caras, \(10\) vértices, \(15\) aristas: \(7+10=17=15+2\). Pirámide hexagonal: \(7\) caras, \(7\) vértices, \(12\) aristas: \(7+7=14=12+2\).

\(V=6\cdot4\cdot3=72\) cm³. \(A=2(24+18+12)=108\) cm². Diagonal: \(\sqrt{36+16+9}=\sqrt{61}\approx7{,}81\) cm.

\(6a^2=150\Rightarrow a^2=25\Rightarrow a=5\) cm. \(V=5^3=125\) cm³.

Hipotenusa \(5\). Base: \(A_b=\frac{3\cdot4}{2}=6\) cm², perímetro \(12\) cm. \(V=6\cdot10=60\) cm³. \(A_L=12\cdot10=120\) cm². \(A_T=120+2\cdot6=132\) cm².

Apotema de la base \(5\); apotema de la pirámide \(\sqrt{12^2+5^2}=13\) cm. \(A_L=\frac{40\cdot13}{2}=260\) cm². \(A_T=260+100=360\) cm². \(V=\frac{100\cdot12}{3}=400\) cm³.

\(A_L=2\pi\cdot4\cdot9=72\pi\approx226{,}19\) cm². \(A_T=72\pi+2\pi\cdot16=104\pi\approx326{,}73\) cm². \(V=\pi\cdot16\cdot9=144\pi\approx452{,}39\) cm³.

\(g=\sqrt{25+144}=13\) cm. \(A_T=\pi\cdot5\cdot(13+5)=90\pi\approx282{,}74\) cm². \(V=\frac{\pi\cdot25\cdot12}{3}=100\pi\approx314{,}16\) cm³.

\(A=4\pi\cdot36=144\pi\approx452{,}39\) cm². \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot216=288\pi\approx904{,}78\) cm³. Si el radio se duplica, el volumen se multiplica por \(2^3=8\).

  1. \(2{,}5\) L. b) \(800\) L. c) \(350\) L. d) \(1200\) cm³.

\(V_{esf}=\frac{4}{3}\pi\cdot125\approx523{,}60\) cm³ y \(V_{cubo}=1000\) cm³. Fracción: \(\approx52{,}4\,\%\).

  1. \(V=12\cdot5\cdot1{,}6=96\) m³ \(=96\,000\) L. b) \(12\cdot5\cdot1{,}5=90\) m³ \(=90\,000\) L. c) Suelo \(60\) m² y paredes \(2(12+5)\cdot1{,}6=54{,}4\) m²: total \(114{,}4\) m² \(=11\,440\) azulejos.

\(r=3{,}3\). \(V=\pi\cdot3{,}3^2\cdot11{,}5\approx393{,}4\) cm³ \(=393{,}4\) mL. \(A_T=2\pi\cdot3{,}3\cdot(11{,}5+3{,}3)\approx306{,}9\) cm².

\(V=\pi\cdot1^2\cdot3\approx9{,}42\) m³ \(\approx9424{,}8\) L. Tiempo: \(9424{,}8:50\approx188{,}5\) min \(\approx3{,}14\) h.

Cono: \(\frac{\pi\cdot9\cdot10}{3}=30\pi\). Semiesfera: \(\frac{2}{3}\pi\cdot27=18\pi\). Total: \(48\pi\approx150{,}80\) cm³.

Apotema de la pirámide: \(\sqrt{1{,}5^2+1^2}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80\) m. \(A_L=\frac{8\cdot1{,}80}{2}\approx7{,}21\) m². \(V=\frac{4\cdot1{,}5}{3}=2\) m³.

\(V=\frac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}10\) cm³. Salen \(113\) cubitos completos.

Cubo: arista \(10\) cm y \(A=6\cdot100=600\) cm². Esfera: \(r=\sqrt[3]{\frac{3000}{4\pi}}\approx6{,}20\) cm, \(A=4\pi r^2\approx483{,}60\) cm². La esfera tiene menos superficie.

Volumen del cono: \(\frac{\pi\cdot16\cdot12}{3}=64\pi\). Cilindro: \(\pi\cdot16\cdot h=64\pi\Rightarrow h=4\) cm.

Prisma: \(230^2\cdot147=7\,776\,300\) m³. Pirámide: un tercio, \(2\,592\,100\) m³.

\(A=2\pi\cdot0{,}4\cdot3\approx7{,}54\) m² por columna. Las \(12\) columnas: \(\approx90{,}48\) m². Botes: \(90{,}48:8\approx11{,}31\), es decir, \(12\) botes.

  1. \(V=\pi\cdot1{,}2^2\cdot2{,}5\approx11{,}31\) m³ \(\approx11\,309\) L. b) \(11\,309:1800\approx6{,}28\) días: llega para \(6\) días completos. c) \(\pi\cdot1{,}44\cdot1\approx4{,}52\) m³ \(=4\,523\) L.
  1. Cubo: \(6\cdot100=600\) cm². Caja: \(2(200+100+50)=700\) cm². b) El cubo. c) Ahorro por caja: \(100\) cm² \(\cdot0{,}0004=0{,}04\) €; en \(10\,000\) cajas: \(400\) €.
  1. En el largo caben \(30:6=5\) y en el ancho \(20:6=3\) (quedan \(2\) cm): \(15\) latas. b) Cada lata: \(\pi\cdot9\cdot12\approx339{,}3\) cm³; \(15\) latas: \(\approx5089{,}4\) cm³. La caja: \(7200\) cm³. Fracción: \(\approx70{,}7\,\%\). c) \(0{,}95\cdot5089{,}4\approx4834{,}9\) cm³ \(\approx4{,}83\) L.
  1. \(4\pi\cdot6371^2\approx5{,}101\cdot10^8\) km². b) Tierra firme: \(0{,}29\cdot5{,}101\cdot10^8\approx1{,}48\cdot10^8\) km². c) \(6371\) km \(=6{,}371\cdot10^8\) cm; escala \(4:6{,}371\cdot10^8\), es decir, \(1:15{,}93\cdot10^7\).