Lugares geométricos, áreas y perímetros — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(9\) cm y \(12\) cm, y el cateto que falta si la hipotenusa mide \(17\) cm y un cateto \(8\) cm.

2. Indica cuáles de estas ternas son pitagóricas (lados de un triángulo rectángulo): a) \((6,8,10)\) b) \((7,24,25)\) c) \((5,10,12)\) d) \((9,40,41)\).

3. Calcula la diagonal de un rectángulo de \(15\) cm de largo y \(8\) cm de ancho, y la de un cuadrado de lado \(6\) cm (deja la segunda con raíz y como decimal).

4. Halla la distancia entre \(A(-2,1)\) y \(B(4,9)\) y la longitud del segmento de \(A(0,0)\) a \(C(5,12)\).

5. Calcula el área y el perímetro de un trapecio con bases \(12\) y \(8\) cm, altura \(5\) cm y lados no paralelos de \(5{,}4\) y \(5{,}4\) cm.

6. Calcula la longitud y el área de una circunferencia y de su círculo de radio \(7\) cm. Usa \(\pi\approx3{,}14\).

7. Un pentágono regular tiene lado \(5\) cm y apotema \(3{,}44\) cm. Calcula su perímetro y su área.

8. Calcula el área de un sector circular de radio \(10\) cm y ángulo \(72^\circ\) y la longitud de su arco.

9. Un cuadrado inscrito en una circunferencia tiene diagonal igual al diámetro. Si el radio es \(5\) cm, calcula el lado y el área del cuadrado.

10. Dibuja (mentalmente) un segmento \(AB\) de \(8\) cm. ¿A qué distancia de \(A\) y de \(B\) están los puntos de su mediatriz que están a \(3\) cm del punto medio? ¿Qué lugar geométrico describe la mediatriz?

Problemas

11. Una escalera de \(5\) m se apoya en una pared con el pie a \(1{,}4\) m de ella. ¿A qué altura llega? Si el pie se aleja \(1{,}6\) m más, ¿a qué altura llega ahora?

12. Una pantalla de cine tiene \(12\) m de ancho y \(5\) m de alto. ¿Cuánto mide la diagonal? ¿Cuánto cuesta enmarcarla con un cordón luminoso a \(8\) € el metro (perímetro)?

13. Un triángulo isósceles tiene los lados iguales de \(13\) cm y la base de \(10\) cm. Calcula su altura, su área y su perímetro.

14. Una finca tiene forma de rombo con diagonales de \(60\) m y \(80\) m. Calcula su área y el lado (para el vallado completo).

15. Una piscina circular de \(6\) m de diámetro está rodeada por un camino de \(1\) m de ancho. Calcula el área del camino (corona circular).

16. Una pista de atletismo tiene dos rectas de \(100\) m y dos semicírculos de \(30\) m de radio. Calcula el perímetro de la pista y su área interior.

17. Se quiere colocar una farola a la misma distancia de tres casas situadas en los puntos \(A(0,0)\), \(B(8,0)\) y \(C(0,6)\). ¿Dónde hay que ponerla (¿qué punto notable del triángulo es?) y a qué distancia estará de cada casa?

18. Un jardín cuadrado de \(10\) m de lado tiene en el centro un estanque circular de \(2\) m de radio. Calcula el área de césped.

19. Calcula el área de la parte coloreada: un cuadrado de lado \(8\) cm con un círculo inscrito (tangente a los lados).

20. Halla el área de un hexágono regular de lado \(10\) cm sabiendo que la apotema es \(a=\sqrt{100-25}\).

Competenciales

21. La rampa. Un edificio tiene una escalera de \(3\) peldaños de \(18\) cm de altura y se quiere sustituir por una rampa que arranque a \(2{,}7\) m de la puerta. a) ¿Qué desnivel hay que salvar? b) ¿Cuánto mide la rampa (hipotenusa)? c) ¿Qué pendiente tiene (en %)?

22. Reparto de una finca. Tres hermanos reciben una parcela triangular de lados \(30\), \(40\) y \(50\) m. a) ¿Es rectángulo? b) Calcula su área. c) Quieren dividirla con un camino desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, perpendicular a esta. ¿Cuánto mide el camino?

23. El dron. Un dron sube verticalmente \(40\) m y luego se desplaza \(30\) m en horizontal. a) ¿A qué distancia en línea recta está del punto de despegue? b) Si hubiera subido a la vez que avanzaba en línea recta hasta ese punto a \(5\) m/s, ¿cuánto habría tardado? c) ¿Cuánto más corto es ese camino que el real recorrido?

24. La pizza. Una pizzería vende una pizza redonda de \(30\) cm de diámetro por \(9\) €, y una cuadrada de \(28\) cm de lado por \(9\) €. a) Calcula el área de cada una. b) ¿Cuál es más barata por cm²? c) Con la redonda cortada en \(8\) porciones iguales, ¿cuál es el área y el perímetro de cada porción (usa el radio de la pizza)?

Soluciones

\(h=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\) cm. Cateto: \(\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\) cm.

  1. \(36+64=100\): sí. b) \(49+576=625\): sí. c) \(25+100=125\neq144\): no. d) \(81+1600=1681=41^2\): sí.

Rectángulo: \(\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\) cm. Cuadrado: \(6\sqrt2\approx8{,}49\) cm.

\(d(A,B)=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\). \(d(A,C)=\sqrt{25+144}=13\).

\(A=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=50\) cm². \(P=12+8+5{,}4+5{,}4=30{,}8\) cm.

\(L=2\pi r\approx2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\) cm. \(A=\pi r^2\approx3{,}14\cdot49=153{,}86\) cm².

\(P=5\cdot5=25\) cm. \(A=\frac{25\cdot3{,}44}{2}=43{,}00\) cm².

\(A=\frac{\pi\cdot10^2\cdot72}{360}=20\pi\approx62{,}83\) cm². Arco: \(\frac{2\pi\cdot10\cdot72}{360}=4\pi\approx12{,}57\) cm.

Diagonal \(=10\) cm. Lado \(l=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2\approx7{,}07\) cm. Área \(=l^2=50\) cm².

El punto medio \(M\) está a \(4\) cm de \(A\) y \(B\). Un punto de la mediatriz a \(3\) cm de \(M\) forma un triángulo rectángulo: \(d=\sqrt{4^2+3^2}=5\) cm de \(A\) y de \(B\). La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de \(A\) y \(B\).

Altura: \(\sqrt{25-1{,}96}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8\) m. Con el pie a \(3\) m: \(\sqrt{25-9}=4\) m.

Diagonal \(\sqrt{144+25}=13\) m. Perímetro \(2(12+5)=34\) m, luego \(272\) €.

Altura: \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) cm. Área: \(\frac{10\cdot12}{2}=60\) cm². Perímetro: \(13+13+10=36\) cm.

Área \(=\frac{60\cdot80}{2}=2400\) m². El lado es la hipotenusa de un triángulo de catetos \(30\) y \(40\): \(50\) m. Valla: \(4\cdot50=200\) m.

Radios: \(3\) y \(4\) m. \(A=\pi(16-9)=7\pi\approx21{,}99\) m².

Perímetro: \(2\cdot100+2\pi\cdot30\approx388{,}50\) m. Área: \(100\cdot60+\pi\cdot30^2\approx8827{,}43\) m².

Es el circuncentro: corte de las mediatrices. El triángulo es rectángulo en \(A\), así que el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa \(BC\): \((4,3)\). Distancia: \(\sqrt{16+9}=5\) m a cada casa.

\(100-\pi\cdot4\approx100-12{,}57=87{,}43\) m².

Círculo de radio \(4\): \(16\pi\approx50{,}27\) cm². Parte coloreada: \(64-16\pi\approx13{,}73\) cm².

\(a=\sqrt{75}=5\sqrt3\approx8{,}66\) cm. \(P=60\) cm. \(A=\frac{60\cdot8{,}66}{2}\approx259{,}81\) cm² (exacto: \(150\sqrt3\)).

  1. \(3\cdot18=54\) cm \(=0{,}54\) m. b) \(\sqrt{2{,}7^2+0{,}54^2}=\sqrt{7{,}58}\approx2{,}75\) m. c) \(\frac{0{,}54}{2{,}7}=0{,}2\), es decir, el \(20\,\%\).
  1. \(30^2+40^2=2500=50^2\): sí. b) \(A=\frac{30\cdot40}{2}=600\) m². c) La altura sobre la hipotenusa cumple \(\frac{50\cdot h}{2}=600\Rightarrow h=24\) m.
  1. \(\sqrt{40^2+30^2}=50\) m. b) \(50:5=10\) s. c) El real recorre \(70\) m; el recto \(50\) m: ahorra \(20\) m.
  1. Redonda: \(\pi\cdot15^2\approx706{,}86\) cm². Cuadrada: \(28^2=784\) cm². b) La redonda: \(9:706{,}86\approx0{,}0127\) €/cm² frente a \(9:784\approx0{,}0115\) €/cm²: la cuadrada es más barata. c) Área: \(706{,}86:8\approx88{,}36\) cm². Perímetro: arco \(\frac{2\pi\cdot15}{8}\approx11{,}78\) más dos radios \(30\): \(41{,}78\) cm.