Sistemas de ecuaciones — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Comprueba si \((7,4)\) es solución de \(\begin{cases}x+y=11\\x-y=3\end{cases}\) y resuélvelo por reducción.

2. Resuelve por sustitución: \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=14\end{cases}\).

3. Resuelve por igualación: \(\begin{cases}x+3y=7\\x-y=-1\end{cases}\).

4. Resuelve por reducción: \(\begin{cases}3x+2y=13\\5x-3y=9\end{cases}\).

5. Resuelve el método que prefieras: \(\begin{cases}2x+3y=12\\4x-y=10\end{cases}\).

6. Sin resolver, clasifica cada sistema (una solución, infinitas o ninguna): a) \(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases}\) b) \(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=7\end{cases}\) c) \(\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}\).

7. Resuelve con denominadores: \(\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=4\\x-y=3\end{cases}\).

8. Resuelve el sistema no lineal: \(\begin{cases}x+y=7\\x\cdot y=12\end{cases}\).

9. Representa mentalmente las rectas de \(\begin{cases}x-2y=5\\2x+y=5\end{cases}\) y halla su punto de corte.

10. Resuelve: \(\begin{cases}5x+3y=1\\2x-y=7\end{cases}\) y comprueba la solución.

Problemas

11. La suma de dos números es \(52\) y su diferencia es \(14\). ¿Cuáles son?

12. En una granja hay vacas y gallinas: \(40\) cabezas y \(116\) patas. ¿Cuántas hay de cada una?

13. Una entrada de adulto cuesta \(8\) € y una infantil \(5\) €. Un sábado se vendieron \(120\) entradas y se recaudaron \(810\) €. ¿Cuántas de cada tipo?

14. Dentro de \(6\) años, la edad de Marta será el doble que la de su hermano. Hace \(2\) años, era el triple. ¿Qué edades tienen hoy?

15. Mezclamos café de \(6\) €/kg con café de \(9\) €/kg para obtener \(30\) kg de mezcla a \(7{,}50\) €/kg. ¿Cuántos kilos de cada tipo hacen falta?

16. Un barco recorre \(60\) km río abajo en \(3\) horas y los mismos \(60\) km río arriba en \(5\) horas. Halla la velocidad del barco en aguas tranquilas y la de la corriente.

17. Un número de dos cifras suma \(11\); si se invierten las cifras, el número aumenta en \(27\). ¿Cuál es el número?

18. Un rectángulo tiene \(56\) cm de perímetro y el largo es \(4\) cm más que el doble del ancho. Calcula sus dimensiones.

19. Una empresa tiene dos tipos de máquinas. \(3\) máquinas A y \(2\) B producen \(270\) piezas por hora; \(2\) A y \(5\) B producen \(400\). ¿Cuánto produce cada tipo por hora?

20. Resuelve: dos números suman \(20\) y su producto es \(75\).

Competenciales

21. Dos planes de móvil. El plan A cuesta \(10\) € al mes fijos más \(0{,}05\) € por minuto. El plan B no tiene cuota fija pero cuesta \(0{,}15\) € por minuto. a) Escribe el coste de cada plan y resuelve el sistema para ver cuándo cuestan lo mismo. b) ¿Qué plan conviene si hablas \(60\) minutos al mes? c) ¿Y si hablas \(300\)?

22. La excursión. Para una excursión se alquilan autobuses de \(50\) plazas y microbuses de \(20\) plazas. Se necesitan \(7\) vehículos y \(230\) plazas exactamente. a) Plantea el sistema. b) ¿Cuántos vehículos de cada tipo? c) Si el autobús cuesta \(300\) € y el microbús \(150\) €, ¿cuánto cuesta el alquiler?

23. Receta de bizcocho. Para el almuerzo se hornean bizcochos de limón (usan \(200\) g de harina y \(3\) huevos) y de chocolate (usan \(150\) g de harina y \(2\) huevos). Se dispone de \(1{,}7\) kg de harina y \(24\) huevos y se quiere gastar todo. a) Plantea el sistema. b) ¿Cuántos bizcochos de cada tipo? c) Comprueba el resultado.

24. Dos hermanos y una herencia. Dos hermanos reciben \(9\,000\) € y deciden repartirlo de modo que el mayor reciba \(1\,500\) € más que el doble de lo que recibe el menor. a) Plantea y resuelve el sistema. b) ¿Qué porcentaje del total recibe cada uno?

Soluciones

\(7+4=11\) y \(7-4=3\): sí. Sumando las ecuaciones: \(2x=14\Rightarrow x=7\); entonces \(y=4\).

\(3x+2x-1=14\Rightarrow5x=15\Rightarrow x=3\) e \(y=2\cdot3-1=5\).

Despejando \(x\): \(x=7-3y\) y \(x=y-1\). Igualando: \(7-3y=y-1\Rightarrow8=4y\Rightarrow y=2\) y \(x=1\).

Multiplicando por \(3\) y por \(2\): \(9x+6y=39\) y \(10x-6y=18\). Sumando: \(19x=57\Rightarrow x=3\). Entonces \(2y=13-9\) e \(y=2\).

De la segunda, \(y=4x-10\). En la primera: \(2x+12x-30=12\Rightarrow14x=42\Rightarrow x=3\) e \(y=2\).

  1. Coinciden (la segunda es el doble de la primera): infinitas. b) Paralelas: ninguna. c) Se cortan: una.

Por \(6\) en la primera: \(3x+2y=24\). De la segunda \(x=y+3\): \(3y+9+2y=24\Rightarrow y=3\) y \(x=6\) (se comprueba: \(\frac{6}{2}+\frac{3}{3}=4\)).

De la primera, \(y=7-x\). Entonces \(x(7-x)=12\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow x=3\) o \(x=4\). Soluciones: \((3,4)\) y \((4,3)\).

Por sustitución: \(x=5+2y\Rightarrow10+4y+y=5\Rightarrow y=-1\), \(x=3\). Se cortan en \((3,-1)\).

Multiplicando la segunda por \(3\) y sumando: \(11x=22\Rightarrow x=2\); \(y=2x-7=-3\). Comprobación: \(5\cdot2+3\cdot(-3)=1\) y \(2\cdot2-(-3)=7\).

\(x+y=52\) y \(x-y=14\). Sumando: \(2x=66\Rightarrow x=33\) e \(y=19\).

\(v+g=40\) y \(4v+2g=116\). De la primera \(g=40-v\): \(4v+80-2v=116\Rightarrow v=18\), \(g=22\). Hay \(18\) vacas y \(22\) gallinas.

\(a+n=120\) y \(8a+5n=810\). De la primera \(n=120-a\): \(8a+600-5a=810\Rightarrow3a=210\Rightarrow a=70\), \(n=50\). Fueron \(70\) de adulto y \(50\) infantiles.

\(m+6=2(h+6)\) y \(m-2=3(h-2)\). Desarrollando: \(m-2h=6\) y \(m-3h=-4\). Restando: \(h=10\) y \(m=26\). Hoy tienen \(26\) y \(10\) años.

\(a+b=30\) y \(6a+9b=7{,}5\cdot30=225\). De la primera \(a=30-b\): \(180-6b+9b=225\Rightarrow b=15\), \(a=15\). Quince kilos de cada tipo.

\(b+c=20\) y \(b-c=12\). Sumando: \(2b=32\Rightarrow b=16\) km/h y \(c=4\) km/h.

Cifras \(d\) (decenas) y \(u\): \(d+u=11\) y \(10u+d=10d+u+27\Rightarrow u-d=3\). Sumando: \(2u=14\Rightarrow u=7\), \(d=4\). El número es \(47\).

\(2l+2a=56\) y \(l=2a+4\). Entonces \(4a+8+2a=56\Rightarrow6a=48\Rightarrow a=8\) y \(l=20\). Mide \(8\times20\) cm.

\(3a+2b=270\) y \(2a+5b=400\). Multiplicando por \(5\) y por \(2\): \(15a+10b=1350\) y \(4a+10b=800\). Restando: \(11a=550\Rightarrow a=50\) y \(b=60\).

\(x(20-x)=75\Rightarrow x^2-20x+75=0\Rightarrow x=\frac{20\pm10}{2}\): \(15\) y \(5\).

  1. \(y=10+0{,}05x\) e \(y=0{,}15x\). Igualando: \(10=0{,}10x\Rightarrow x=100\) min, y entonces \(15\) €. b) Con \(60\) min: A cuesta \(13\) € y B \(9\) €: conviene B. c) Con \(300\) min: A cuesta \(25\) € y B \(45\) €: conviene A.
  1. \(a+m=7\) y \(50a+20m=230\). b) \(m=7-a\): \(50a+140-20a=230\Rightarrow30a=90\Rightarrow a=3\) y \(m=4\). c) \(3\cdot300+4\cdot150=900+600=1500\) €.
  1. \(200l+150c=1700\) y \(3l+2c=24\). b) De la segunda, \(c=\frac{24-3l}{2}\): \(200l+75(24-3l)=1700\Rightarrow200l+1800-225l=1700\Rightarrow l=4\) y \(c=6\). c) Harina: \(800+900=1700\) g; huevos: \(12+12=24\).
  1. \(a+m=9000\) y \(a=2m+1500\). Entonces \(3m=7500\Rightarrow m=2500\) y \(a=6500\). b) El menor: \(\frac{2500}{9000}\approx27{,}8\,\%\); el mayor: \(\frac{6500}{9000}\approx72{,}2\,\%\).