Ecuaciones de primer y segundo grado — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Resuelve: a) \(5x-7=2x+11\) b) \(3(x-4)=2(x+1)-5\) c) \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10\).

2. Resuelve: \(\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{2x-1}{4}=1\).

3. Resuelve y di qué tipo de solución tienen: a) \(2(x+3)=2x+5\) b) \(3x-6=3(x-2)\).

4. Resuelve con la fórmula: a) \(x^2-7x+10=0\) b) \(2x^2+3x-2=0\) c) \(x^2+4x+4=0\).

5. Sin usar la fórmula completa: a) \(x^2-49=0\) b) \(3x^2-12x=0\) c) \(4x^2=25\).

6. Calcula el discriminante y di cuántas soluciones reales tiene: a) \(x^2-3x+5=0\) b) \(x^2-6x+9=0\) c) \(2x^2-x-3=0\).

7. Sin resolverlas, halla la suma y el producto de las soluciones de \(x^2-9x+14=0\) y comprueba resolviendo.

8. Despeja la incógnita indicada: a) \(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\), despeja \(h\) b) \(v=\dfrac{e}{t}\), despeja \(t\) c) \(P=2a+2b\), despeja \(b\).

9. Comprueba si \(x=-2\) es solución de \(x^2+x-2=0\) y de \(2x^2-3x-14=0\).

10. Resuelve: \((x+3)^2=x^2+5x+13\).

Problemas

11. La suma de tres números consecutivos es \(87\). ¿Cuáles son?

12. Una madre tiene \(38\) años y su hijo \(10\). ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple que la del hijo?

13. En un corral hay gallinas y conejos: \(30\) cabezas y \(84\) patas. ¿Cuántos animales de cada tipo hay? (Plantea con una sola incógnita.)

14. Un rectángulo mide \(4\) cm más de largo que de ancho y su perímetro es \(48\) cm. Calcula sus dimensiones y su área.

15. El producto de dos números enteros consecutivos es \(156\). Hállalos.

16. Un campo rectangular tiene \(300\) m² y su largo mide \(5\) m más que su ancho. ¿Cuánto miden sus lados?

17. Se lanza una pelota hacia arriba y su altura en metros es \(h=-5t^2+30t\). ¿En qué instantes está a \(40\) m de altura? ¿Cuándo vuelve al suelo?

18. Un grifo llena un depósito en \(x\) horas y otro lo hace en \(x+3\) horas. Juntos lo llenan en \(2\) horas. Plantea y resuelve la ecuación \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}\).

19. Un tren sale a \(80\) km/h; \(1\) hora después sale otro, en el mismo sentido, a \(100\) km/h. ¿Cuánto tarda el segundo en alcanzar al primero y a qué distancia?

20. Halla dos números cuya suma es \(17\) y la suma de sus cuadrados es \(149\).

Competenciales

21. El cercado del huerto. Quieres vallar un huerto rectangular pegado a una pared (la pared hace de cuarto lado) con \(40\) m de valla. a) Si el lado paralelo a la pared mide \(x\), expresa el otro lado. b) Plantea el área \(A(x)\) y calcula las medidas para que el área sea de \(200\) m². c) ¿Es posible un área de \(250\) m²?

22. Dos tarifas. Una academia cobra \(30\) € de matrícula más \(12\) € por clase. Otra cobra \(18\) € por clase sin matrícula. a) Escribe y resuelve la ecuación para saber cuántas clases cuestan lo mismo. b) ¿Cuál conviene si vas a hacer \(8\) clases? c) ¿Y si haces \(3\)?

23. La cuesta. Un ciclista sube un puerto a \(12\) km/h y lo baja a \(36\) km/h. El puerto mide \(x\) km. a) Expresa el tiempo de subida y de bajada. b) Si tarda en total \(1\) hora y \(20\) minutos, plantea y resuelve la ecuación. c) ¿Cuál ha sido su velocidad media en el trayecto completo?

24. Una caja de cartón. De un cartón cuadrado de lado \(30\) cm se recortan cuadrados de lado \(x\) en las esquinas y se dobla para hacer una caja sin tapa. a) Expresa el área de la base. b) ¿Qué \(x\) hace que la base tenga \(400\) cm²? c) ¿Cuánto vale entonces el volumen?

Soluciones

  1. \(3x=18\Rightarrow x=6\). b) \(3x-12=2x-3\Rightarrow x=9\). c) Por \(6\): \(3x+2x=60\Rightarrow x=12\).

Por \(12\): \(4(x+1)-3(2x-1)=12\Rightarrow4x+4-6x+3=12\Rightarrow-2x=5\Rightarrow x=- \frac{5}{2}\).

  1. \(2x+6=2x+5\Rightarrow6=5\): sin solución. b) \(3x-6=3x-6\): se cumple siempre, infinitas soluciones.
  1. \(\Delta=9\), \(x=\frac{7\pm3}{2}\): \(x=5\) y \(x=2\). b) \(\Delta=25\), \(x=\frac{-3\pm5}{4}\): \(x=\frac{1}{2}\) y \(x=-2\). c) \(\Delta=0\): solución doble \(x=-2\).
  1. \(x=\pm7\). b) \(3x(x-4)=0\Rightarrow x=0\) o \(x=4\). c) \(x^2=\frac{25}{4}\Rightarrow x=\pm\frac{5}{2}\).
  1. \(\Delta=9-20=-11<0\): ninguna. b) \(\Delta=36-36=0\): una. c) \(\Delta=1+24=25>0\): dos.

Suma \(=9\), producto \(=14\). Resolviendo: \(x=\frac{9\pm5}{2}\), es decir, \(7\) y \(2\), y \(7+2=9\), \(7\cdot2=14\).

  1. \(h=\frac{2A}{b}\). b) \(t=\frac{e}{v}\). c) \(b=\frac{P-2a}{2}\).

\((-2)^2+(-2)-2=0\): sí. \(2\cdot4+6-14=0\): sí. Las dos se cumplen.

\(x^2+6x+9=x^2+5x+13\Rightarrow x=4\).

\(x+(x+1)+(x+2)=87\Rightarrow3x=84\Rightarrow x=28\). Los números son \(28,\ 29,\ 30\).

\(38+x=3(10+x)\Rightarrow38+x=30+3x\Rightarrow8=2x\Rightarrow x=4\) años. Tendrán \(42\) y \(14\).

Gallinas \(x\), conejos \(30-x\): \(2x+4(30-x)=84\Rightarrow120-2x=84\Rightarrow x=18\). Hay \(18\) gallinas y \(12\) conejos.

Ancho \(x\), largo \(x+4\): \(2x+2(x+4)=48\Rightarrow4x=40\Rightarrow x=10\). Mide \(10\times14\) cm y su área es \(140\) cm².

\(x(x+1)=156\Rightarrow x^2+x-156=0\), \(\Delta=625\), \(x=\frac{-1\pm25}{2}\): \(x=12\) o \(x=-13\). Los números son \(12\) y \(13\) (o \(-13\) y \(-12\)).

\(x(x+5)=300\Rightarrow x^2+5x-300=0\), \(\Delta=1225\), \(x=\frac{-5\pm35}{2}\): \(x=15\) (la solución \(-20\) se descarta). Mide \(15\times20\) m.

\(-5t^2+30t=40\Rightarrow t^2-6t+8=0\Rightarrow t=2\) s y \(t=4\) s (sube y baja). Suelo: \(-5t(t-6)=0\Rightarrow t=6\) s.

\(2(x+3)+2x=x(x+3)\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x=3\) (se descarta \(-2\)). Uno tarda \(3\) h y el otro \(6\) h.

El segundo viaja \(t\) horas: \(80(t+1)=100t\Rightarrow80=20t\Rightarrow t=4\) h. Distancia: \(100\cdot4=400\) km.

\(x^2+(17-x)^2=149\Rightarrow2x^2-34x+140=0\Rightarrow x^2-17x+70=0\), \(\Delta=9\), \(x=\frac{17\pm3}{2}\): \(10\) y \(7\).

  1. Los lados perpendiculares miden \(\frac{40-x}{2}\). b) \(x\cdot\frac{40-x}{2}=200\Rightarrow x^2-40x+400=0\Rightarrow(x-20)^2=0\Rightarrow x=20\) m: el huerto mide \(20\times10\) m (es el área máxima). c) \(x^2-40x+500=0\), \(\Delta=1600-2000<0\): no es posible.
  1. \(30+12n=18n\Rightarrow n=5\) clases. b) Con \(8\) clases: \(30+96=126\) € frente a \(144\) €: conviene la primera. c) Con \(3\): \(66\) € frente a \(54\) €: conviene la segunda.
  1. Subida \(\frac{x}{12}\) h; bajada \(\frac{x}{36}\) h. b) \(\frac{x}{12}+\frac{x}{36}=\frac{4}{3}\Rightarrow3x+x=48\Rightarrow x=12\) km. c) Recorre \(24\) km en \(\frac{4}{3}\) h: \(24:\frac{4}{3}=18\) km/h (no es la media de \(12\) y \(36\)).
  1. Base: \((30-2x)^2\). b) \((30-2x)^2=400\Rightarrow30-2x=20\Rightarrow x=5\) cm (la otra raíz, \(x=25\), da lado negativo y se descarta). c) \(V=400\cdot5=2000\) cm³ \(=2\) litros.