Lenguaje algebraico y polinomios — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Traduce a lenguaje algebraico: a) el triple de un número menos cinco b) la mitad de la suma de dos números c) tres números consecutivos cuya suma es \(48\) d) el área de un cuadrado de lado \(x+2\).

2. Para \(P(x)=2x^3-5x^2+x-4\) indica el grado, el término independiente y calcula \(P(0)\), \(P(1)\) y \(P(-2)\).

3. Dados \(A(x)=3x^2-2x+5\) y \(B(x)=x^2+4x-1\), calcula \(A+B\), \(A-B\) y \(2A-3B\).

4. Multiplica y reduce: a) \(3x^2(2x-5)\) b) \((x+4)(x-3)\) c) \((2x-1)(x^2+3x-2)\).

5. Desarrolla con las identidades notables: a) \((x+7)^2\) b) \((3x-2)^2\) c) \((5x+4)(5x-4)\) d) \((a+2b)^2\).

6. Divide \(2x^3-3x^2+4x-5\) entre \(x-2\) y comprueba el resultado con la prueba de la división.

7. Saca factor común: a) \(12x^3-18x^2\) b) \(5ab+10a^2b-15ab^2\).

8. Factoriza: a) \(x^2-25\) b) \(x^2+10x+25\) c) \(x^2-5x+6\).

9. Simplifica la fracción algebraica \(\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\) indicando para qué valores no está definida.

10. Calcula el valor numérico de \(E=3a^2-2ab+b^2\) para \(a=2\) y \(b=-3\).

Problemas

11. Un rectángulo tiene un lado que mide \(x+3\) y el otro \(x-1\). Escribe y simplifica el polinomio del perímetro y del área. ¿Cuánto valen si \(x=5\)?

12. Una caja sin tapa se forma con un cartón cuadrado de lado \(x\) al cortar en cada esquina un cuadradito de lado \(2\). Expresa el volumen en función de \(x\) (la altura de la caja es \(2\)).

13. Halla \(k\) para que \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\) sea divisible entre \(x-2\).

14. Comprueba que \(x=3\) es raíz de \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) y factoriza el polinomio completamente.

15. Demuestra con identidades notables que \((n+1)^2-n^2\) es siempre un número impar. ¿Cuánto vale para \(n=49\)?

16. Calcula mentalmente usando identidades notables: a) \(101^2\) b) \(99^2\) c) \(52\cdot48\).

17. El beneficio de una empresa en miles de euros es \(B(x)=-x^2+8x-12\), donde \(x\) son los meses. Calcula \(B(2)\), \(B(4)\), \(B(6)\) y factoriza \(B(x)\). ¿En qué meses el beneficio es cero?

18. Simplifica: \(\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9}\) y calcula su valor para \(x=5\).

19. La suma de un número y su cuadrado es \(56\). Plantea la ecuación, factoriza el polinomio y halla los números.

20. Halla el polinomio \(P(x)\) de segundo grado que cumple \(P(0)=3\), \(P(1)=6\) y \(P(-1)=4\).

Competenciales

21. La finca. Una finca cuadrada de lado \(x\) metros se amplía añadiendo \(5\) m a un lado y \(3\) m al contiguo. a) Expresa el área de la finca ampliada. b) ¿Cuánto terreno nuevo hay (diferencia de áreas)? c) Si \(x=40\), ¿cuántos m² son?

22. Tarifas de taxi. Un taxi A cobra \(3\) € de bajada de bandera más \(1{,}2\) € por km. Otro taxi B cobra \(2\) € más \(1{,}4\) € por km. a) Escribe el coste de cada uno en función de los km \(x\). b) ¿Cuándo es igual el coste? c) ¿Cuál es más barato para un trayecto de \(12\) km?

23. Un truco de magia. Piensa un número, multiplícalo por \(2\), súmale \(6\), divide entre \(2\) y resta el número inicial. a) Prueba con \(5\), \(12\) y \(-3\). b) Demuestra con álgebra por qué siempre sale lo mismo.

24. El mosaico. Un patio cuadrado de lado \(a+b\) se pavimenta con un cuadrado grande de lado \(a\), un cuadrado pequeño de lado \(b\) y dos rectángulos de \(a\times b\). a) Escribe el área total de dos formas. b) Con \(a=6\) m y \(b=2\) m, ¿cuántos m² son? c) ¿Cuánto vale solo la parte de los dos rectángulos?

Soluciones

  1. \(3x-5\). b) \(\frac{x+y}{2}\). c) \(x+(x+1)+(x+2)=48\). d) \((x+2)^2\).

Grado \(3\); término independiente \(-4\). \(P(0)=-4\), \(P(1)=2-5+1-4=-6\), \(P(-2)=-16-20-2-4=-42\).

\(A+B=4 x^{2} + 2 x + 4\). \(A-B=2 x^{2} - 6 x + 6\). \(2A-3B=3 x^{2} - 16 x + 13\).

  1. \(6 x^{3} - 15 x^{2}\). b) \(x^{2} + x - 12\). c) \(2 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 2\).
  1. \(x^{2} + 14 x + 49\). b) \(9 x^{2} - 12 x + 4\). c) \(25 x^{2} - 16\). d) \(a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}\).

Cociente \(2 x^{2} + x + 6\) y resto \(7\). Prueba: \((x-2)(2 x^{2} + x + 6)+7=2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5\).

  1. \(6 x^{2} \left(2 x - 3\right)\). b) \(5 a b \left(2 a - 3 b + 1\right)\).
  1. \(\left(x - 5\right) \left(x + 5\right)\). b) \(\left(x + 5\right)^{2}\). c) Raíces \(2\) y \(3\): \(\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)\).

Numerador: \((x+2)(x-2)\). Denominador: \(x(x+2)\). Resultado: \(\frac{x - 2}{x}\), con \(x\neq0\) y \(x\neq-2\).

\(3\cdot4-2\cdot2\cdot(-3)+9=12+12+9=33\).

Perímetro: \(2(x+3)+2(x-1)=4 x + 4\). Área: \((x+3)(x-1)=x^{2} + 2 x - 3\). Con \(x=5\): perímetro \(24\) y área \(32\).

La base es un cuadrado de lado \(x-4\). \(V=2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2 x^{2} - 16 x + 32\).

Debe ser \(P(2)=0\): \(8+4k-8+4=0\Rightarrow4k=-4\Rightarrow k=-1\).

\(P(3)=27-54+33-6=0\). Dividiendo entre \(x-3\): \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Entonces \(P(x)=\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)\).

\((n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1\), que es impar. Para \(n=49\): \(99\).

  1. \((100+1)^2=10000+200+1=10201\). b) \((100-1)^2=10000-200+1=9801\). c) \((50+2)(50-2)=2500-4=2496\).

\(B(2)=0\), \(B(4)=4\), \(B(6)=0\). \(B(x)=-(x-2)(x-6)\). El beneficio es cero en los meses \(2\) y \(6\).

\(\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x + 3}{x - 3}\). Para \(x=5\): \(4\).

\(x^2+x-56=0\Rightarrow(x+8)(x-7)=0\). Los números son \(x=7\) y \(x=-8\).

\(P(x)=ax^2+bx+c\) con \(c=3\); \(a+b+3=6\) y \(a-b+3=4\). Sumando: \(2a+6=10\Rightarrow a=2\) y \(b=1\). \(P(x)=2x^2+x+3\).

  1. \((x+5)(x+3)=x^{2} + 8 x + 15\). b) Nuevo: \(8 x + 15\). c) \(8\cdot40+15=335\) m².
  1. \(A(x)=3+1{,}2x\) y \(B(x)=2+1{,}4x\). b) \(3+1{,}2x=2+1{,}4x\Rightarrow x=5\) km. c) A: \(17{,}40\) €; B: \(18{,}80\) €. Es más barato el A.
  1. Con \(5\): \((10+6):2-5=3\); con \(12\): \((24+6):2-12=3\); con \(-3\): \((-6+6):2+3=3\). b) \(\frac{2x+6}{2}-x=x+3-x=3\).
  1. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). b) \((6+2)^2=64\) m². c) \(2ab=2\cdot6\cdot2=24\) m².