Proporcionalidad numérica — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Calcula el valor desconocido: a) \(\frac{12}{5}=\frac{84}{x}\) b) \(\frac{x}{9}=\frac{35}{15}\).

2. Tres kilos de manzanas cuestan \(5{,}40\) €. ¿Cuánto cuestan \(8\) kg? ¿Cuántos kilos se pueden comprar con \(27\) €?

3. Seis obreros construyen un muro en \(15\) días. ¿Cuántos días tardarían \(9\) obreros? ¿Y \(5\)?

4. Calcula: a) el \(18\,\%\) de \(450\) b) ¿qué porcentaje es \(63\) de \(420\)? c) ¿de qué número es \(72\) el \(24\,\%\)?

5. Un abrigo cuesta \(120\) € y tiene un descuento del \(35\,\%\). Calcula el precio final y cuánto se ahorra.

6. Un televisor cuesta \(480\) € sin IVA. Con el \(21\,\%\) de IVA, ¿cuánto cuesta? Si cuesta \(605\) € con IVA, ¿cuál es el precio sin IVA?

7. Un precio sube un \(20\,\%\) y después baja un \(20\,\%\). ¿Queda igual? Calcula la variación porcentual total.

8. Calcula el interés simple producido por \(4\,000\) € al \(3{,}5\,\%\) anual durante \(4\) años, y el capital final con interés compuesto en el mismo tiempo.

9. Una escala de un mapa es \(1:50\,000\). a) Dos pueblos están a \(7{,}5\) cm en el mapa; ¿qué distancia real hay en km? b) Una carretera mide \(12\) km; ¿cuántos cm mide en el mapa?

10. Reparte \(1\,800\) € de forma directamente proporcional a \(2\), \(3\) y \(4\).

Problemas

11. Un coche gasta \(6{,}4\) L cada \(100\) km. ¿Cuántos litros necesita para un viaje de \(350\) km? Si la gasolina cuesta \(1{,}65\) €/L, ¿cuánto cuesta el viaje?

12. Una fotocopiadora hace \(150\) copias en \(6\) minutos. ¿Cuántas copias hace en un cuarto de hora? ¿Y dos fotocopiadoras iguales cuánto tardan en hacer \(1\,000\) copias?

13. Para pintar una pared de \(30\) m² se necesitan \(4\) botes de pintura. ¿Cuántos botes hacen falta para otra de \(52{,}5\) m²? (Los botes no se pueden partir.)

14. Ocho grifos llenan una piscina en \(9\) horas. ¿Cuánto tardarían \(6\) grifos? ¿Cuántos grifos harían falta para llenarla en \(4\) horas y media?

15. En unas rebajas, una chaqueta de \(85\) € se rebaja un \(30\,\%\) y sobre ese precio se hace otro \(10\,\%\) por pagar en efectivo. ¿Cuál es el precio final? ¿Es igual que un descuento único del \(40\,\%\)?

16. El precio de un móvil subió un \(15\,\%\) y ahora cuesta \(391\) €. ¿Cuánto costaba antes? ¿Cuánto debería bajar un \(15\,\%\) para quedar en el precio anterior? (Responde: ¿vuelve al precio inicial?)

17. Un banco ofrece un \(2{,}5\,\%\) anual con interés compuesto. ¿En cuántos años se duplica aproximadamente un capital? Prueba con \(25,\ 28\) y \(30\) años.

18. Un artículo tiene un precio con IVA del \(21\,\%\) de \(72{,}60\) €. Calcula el precio sin IVA y la cantidad de IVA. Si el IVA bajara al \(10\,\%\), ¿cuánto costaría?

19. En una clase de \(30\) alumnos, el \(40\,\%\) son chicas. Se incorporan \(5\) chicas más. ¿Qué porcentaje de chicas hay ahora?

20. Tres amigos montan un negocio aportando \(2\,000\) €, \(3\,000\) € y \(5\,000\) €. Al cabo del año ganan \(4\,500\) €. ¿Cuánto corresponde a cada uno? ¿Y si el reparto fuera inversamente proporcional a lo aportado? (Deja el segundo reparto con dos decimales.)

Competenciales

21. Comparar ofertas. En el supermercado hay tres envases de zumo: A) \(1\) L por \(1{,}20\) €; B) pack de 3 de \(200\) mL cada uno por \(1{,}35\) €; C) \(1{,}5\) L por \(1{,}65\) €. a) Calcula el precio por litro de cada uno. b) ¿Cuál es el más barato? c) Si necesitas \(6\) L, ¿cuánto te ahorras comprando el más barato frente al más caro?

22. El viaje a Londres. Un grupo cambia \(400\) € a libras esterlinas a razón de \(1\) € \(=0{,}86\) £ y cobran una comisión del \(2\,\%\) sobre los euros cambiados. a) ¿Cuántas libras reciben? b) Gastan \(250\) £ y quieren devolver el resto a euros al mismo cambio, sin comisión. ¿Cuántos euros recuperan? c) ¿Cuánto han pagado en total por la estancia en euros, comisión incluida?

23. La factura de la luz. Una familia consume \(280\) kWh al mes. El precio es \(0{,}15\) €/kWh más \(12\) € fijos, y se aplica un \(5{,}1\,\%\) de impuesto eléctrico sobre el total y después un \(21\,\%\) de IVA. a) ¿Cuánto es la base antes de impuestos? b) ¿Y el total a pagar? c) Si consiguen reducir el consumo un \(15\,\%\), ¿cuánto ahorran al mes?

24. Una hipoteca de juguete. Pides prestados \(12\,000\) € para una reforma al \(6\,\%\) anual de interés compuesto y lo devuelves de golpe a los \(3\) años. a) ¿Cuánto devuelves? b) ¿Qué intereses pagas? c) Si el interés fuera simple, ¿cuánto pagarías de intereses? ¿Qué te conviene?

Soluciones

  1. \(x=\frac{5\cdot84}{12}=35\). b) \(x=\frac{9\cdot35}{15}=21\).

Precio por kilo: \(5{,}40:3=1{,}80\) €/kg. \(8\) kg: \(14{,}40\) €. Con \(27\) €: \(27:1{,}80=15\) kg.

Magnitudes inversas: \(6\cdot15=90\). Con \(9\): \(10\) días. Con \(5\): \(18\) días.

  1. \(0{,}18\cdot450=81\). b) \(\frac{63}{420}\cdot100=15\,\%\) . c) \(72:0{,}24=300\).

Índice \(1-0{,}35=0{,}65\). Precio: \(120\cdot0{,}65=78\) €. Ahorro: \(42\) €.

\(480\cdot1{,}21=580{,}80\) €. Sin IVA: \(605:1{,}21=500\) €.

\(1{,}20\cdot0{,}80=0{,}96\): no queda igual, baja un \(4\,\%\).

Simple: \(4000\cdot0{,}035\cdot4=560\) €. Compuesto: \(4000\cdot1{,}035^4\approx4590{,}09\) €.

  1. \(7{,}5\cdot50000=375\,000\) cm \(=3{,}75\) km. b) \(12\) km \(=1\,200\,000\) cm; \(1\,200\,000:50\,000=24\) cm.

Suma: \(2+3+4=9\). Partes: \(\frac{1800}{9}=200\) €/unidad, luego \(400\) €, \(600\) € y \(800\) €.

\(\frac{6{,}4}{100}=\frac{x}{350}\Rightarrow x=22{,}40\) L. Coste: \(22{,}40\cdot1{,}65=36{,}96\) €.

Ritmo: \(\frac{150}{6}=25\) copias/min. En \(15\) min: \(375\). Dos máquinas: \(50\) copias/min, luego \(1000:50=20\) min.

Rendimiento: \(\frac{30}{4}=7{,}5\) m²/bote. \(52{,}5:7{,}5=7\) botes exactos.

Inverso: \(8\cdot9=72\). Con \(6\): \(12\) h. Para \(4{,}5\) h: \(72:4{,}5=16\) grifos.

\(85\cdot0{,}70\cdot0{,}90=53{,}55\) €. Un descuento único del \(40\,\%\) daría \(85\cdot0{,}60=51{,}00\) €: no es igual. El descuento total equivale a un \(37\,\%\).

Antes: \(391:1{,}15=340\) €. Bajar un \(15\,\%\) de \(391\): \(391\cdot0{,}85=332{,}35\) €, distinto de \(340\) €: no vuelve al precio inicial.

\(1{,}025^{25}\approx1{,}854\); \(1{,}025^{28}\approx1{,}996\); \(1{,}025^{30}\approx2{,}098\). Con \(28\) años aún no se ha duplicado (\(<2\)) y con \(30\) sí: se duplica a los \(\frac{\ln2}{\ln1{,}025}\approx28{,}1\) años, es decir, durante el año \(29\).

Sin IVA: \(72{,}60:1{,}21=60\) €. IVA: \(12{,}60\) €. Con el \(10\,\%\): \(60\cdot1{,}10=66\) €.

Chicas: \(0{,}4\cdot30=12\). Ahora hay \(17\) chicas de \(35\): \(\frac{17}{35}\cdot100\approx48{,}6\,\%\).

Directo: \(\frac{4500}{10000}=0{,}45\) por euro: \(900\) €, \(1350\) € y \(2250\) €. Inverso: se reparte en proporción a \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}\), suma \(\frac{31}{30}\): \(2177{,}42\) €, \(1451{,}61\) € y \(870{,}97\) €.

  1. A: \(1{,}20\) €/L. B: \(1{,}35:0{,}6=2{,}25\) €/L. C: \(1{,}65:1{,}5=1{,}10\) €/L. b) El C. c) Con C: \(6\cdot1{,}10=6{,}60\) €; con B: \(6\cdot2{,}25=13{,}50\) €. Ahorro: \(6{,}90\) €.
  1. Comisión: \(0{,}02\cdot400=8\) €; se cambian \(392\) €: \(392\cdot0{,}86=337{,}12\) £. b) Sobran \(87{,}12\) £, que son \(101{,}30\) €. c) \(400-101{,}30=298{,}70\) €.
  1. \(280\cdot0{,}15+12=54{,}00\) €. b) \(54\cdot1{,}051\cdot1{,}21=68{,}67\) €. c) Con \(238\) kWh: base \(47{,}70\) €; total \(60{,}66\) €. Ahorro: \(8{,}01\) €.
  1. \(12000\cdot1{,}06^3=14292{,}19\) €. b) Intereses: \(2292{,}19\) €. c) Simple: \(12000\cdot0{,}06\cdot3=2160\) €, menos que con interés compuesto. Para quien pide el préstamo conviene el interés simple.