Sucesiones y progresiones — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Escribe los cinco primeros términos de la sucesión de término general \(a_n=3n^2-2\) y calcula \(a_{10}\).

2. Halla la regla de formación y los tres términos siguientes: a) \(4,\ 9,\ 14,\ 19,\dots\) b) \(2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots\) c) \(1,\ 4,\ 9,\ 16,\dots\)

3. En una progresión aritmética \(a_1=7\) y \(d=4\). Halla el término general, \(a_{20}\) y la suma de los \(20\) primeros términos.

4. En una progresión aritmética \(a_3=11\) y \(a_7=23\). Calcula la diferencia, \(a_1\) y \(a_{15}\).

5. En una progresión geométrica \(a_1=5\) y \(r=2\). Halla \(a_{8}\) y la suma de los \(8\) primeros términos.

6. Calcula la razón y el término general de \(\ 81,\ 27,\ 9,\ 3,\dots\) y la suma de infinitos términos.

7. Indica si son progresiones aritméticas, geométricas o ninguna, y razona: a) \(3,\ 7,\ 11,\ 15\) b) \(2,\ 4,\ 8,\ 16\) c) \(1,\ 2,\ 4,\ 7\) d) \(5,\ 5,\ 5,\ 5\).

8. Interpola tres términos entre \(2\) y \(34\) para que formen una progresión aritmética.

9. ¿Cuántos términos de la progresión \(5,\ 8,\ 11,\dots\) hay que sumar para obtener \(390\)?

10. Calcula la suma \(1+2+3+\dots+60\) y la suma de los múltiplos de \(5\) menores o iguales que \(200\).

Problemas

11. En un cine la primera fila tiene \(14\) butacas y cada fila siguiente tiene \(2\) más. Si hay \(20\) filas, ¿cuántas butacas tiene la última? ¿Cuántas hay en total?

12. Ahorras \(5\) € la primera semana y cada semana \(3\) € más que la anterior. ¿Cuánto ahorras en la semana \(26\)? ¿Y en un año (52 semanas)?

13. Una pelota cae desde \(2\) m y en cada rebote sube el \(60\,\%\) de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza tras el 5.º rebote? ¿Y qué recorrido total llevaría si siguiera rebotando infinitamente? (Suma las subidas y las bajadas.)

14. Depositas \(3\,000\) € a un interés compuesto del \(4\,\%\) anual. ¿Cuánto tendrás al cabo de \(10\) años? Calcula también el interés ganado.

15. Un virus se triplica cada día. Si hoy hay \(100\) virus, ¿cuántos habrá dentro de \(6\) días? ¿Y cuántos en total han existido durante esos días (sumando cada día, hoy incluido, hasta el día 6)?

16. En una escalera de \(12\) peldaños, el primero se apoya a \(20\) cm del suelo y cada peldaño está \(18\) cm más alto que el anterior. ¿A qué altura queda el peldaño \(12\)? ¿Cuál es la suma de las alturas de los \(12\) peldaños?

17. Si \(x-1\), \(x+3\) y \(2x+2\) son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, halla \(x\) y los términos.

18. Un empleado cobra \(18\,000\) € el primer año y cada año le suben el sueldo un \(3\,\%\). ¿Cuánto cobra en el año \(10\)? ¿Cuánto habrá cobrado en total en esos \(10\) años?

19. El número de seguidores de un canal se duplica cada mes. Empieza con \(150\). ¿En qué mes supera los \(100\,000\)?

20. Sumando los cuadrados de los primeros números, \(1^2+2^2+3^2+\dots\), ¿cuánto vale la suma de los \(10\) primeros? (Pista: calcúlalo término a término.)

Competenciales

21. Plan de ahorro para un viaje. Lucía quiere ahorrar para un viaje de fin de curso de \(1\,200\) €. Empieza ingresando \(20\) € el primer mes y cada mes ingresa \(10\) € más que el anterior. a) ¿Cuánto ingresa el mes \(12\)? b) ¿Cuánto ha ahorrado al acabar el año? c) ¿Cuántos meses necesita para llegar a \(1\,200\) €?

22. La hoja de papel doblada. Cada vez que se dobla un folio por la mitad, el número de capas se duplica. a) ¿Cuántas capas hay tras \(6\) dobleces? b) Cada capa mide \(0{,}1\) mm. ¿Qué grosor tiene tras \(10\) dobleces, en cm? c) ¿Cuántos dobleces hacen falta para superar los \(2\) m de altura?

23. Sueldos. Una empresa ofrece dos contratos. Contrato A: \(24\,000\) € el primer año y \(1\,200\) € más cada año. Contrato B: \(22\,000\) € el primer año y una subida del \(5\,\%\) anual. a) ¿Cuánto se cobra en el año \(10\) con cada contrato? b) ¿Cuánto se acumula en \(10\) años con cada uno? c) ¿Cuál conviene a \(10\) años vista?

24. Una cuenta atrás. Para una fiesta se apilan vasos en pirámide: \(1\) en la cima, \(2\) en la fila siguiente, \(3\), etc. a) ¿Cuántos vasos hay en una pirámide de \(8\) filas? b) ¿Cuántos vasos tiene la fila de abajo si se usan \(120\) vasos en total? c) ¿Cuántos vasos se necesitan si se quieren \(15\) filas?

Soluciones

\(a_1=1\), \(a_2=10\), \(a_3=25\), \(a_4=46\), \(a_5=73\). \(a_{10}=3\cdot100-2=298\).

  1. Se suma \(5\): \(24,\ 29,\ 34\). b) Se multiplica por \(3\): \(162,\ 486,\ 1458\). c) Cuadrados perfectos \(a_n=n^2\): \(25,\ 36,\ 49\).

\(a_n=7+4(n-1)=4n+3\). \(a_{20}=83\). \(S_{20}=\frac{(7+83)\cdot20}{2}=900\).

\(a_7-a_3=4d\Rightarrow d=\frac{12}{4}=3\). \(a_1=11-2\cdot3=5\). \(a_{15}=5+14\cdot3=47\).

\(a_8=5\cdot2^7=640\). \(S_8=\frac{5(2^8-1)}{2-1}=1275.0\).

\(r=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). \(a_n=81\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). Como \(|r|<1\): \(S=\frac{81}{1-\frac{1}{3}}=\frac{243}{2}\).

  1. Aritmética, \(d=4\). b) Geométrica, \(r=2\). c) Ninguna: diferencias \(1,\ 2,\ 3\) y cocientes \(2,\ 2,\ \frac{7}{4}\). d) Aritmética con \(d=0\) y también geométrica con \(r=1\).

Hay \(5\) términos: \(34=2+4d\Rightarrow d=8\). La progresión es \(2,\ 10,\ 18,\ 26,\ 34\).

\(S_n=\frac{(10+3(n-1))n}{2}=390\Rightarrow3n^2+7n-780=0\Rightarrow n=\frac{-7\pm97}{6}\). Solo vale la positiva: \(n=15\).

\(S=\frac{(1+60)\cdot60}{2}=1830\). Múltiplos de \(5\): \(5,\ 10,\dots,200\) son \(40\) términos: \(\frac{(5+200)\cdot40}{2}=4100\).

\(a_{20}=14+19\cdot2=52\). \(S_{20}=\frac{(14+52)\cdot20}{2}=660\) butacas.

\(a_{26}=5+25\cdot3=80\) €. \(S_{52}=\frac{(5+158)\cdot52}{2}=4238\) €.

Alturas de rebote: \(2\cdot0{,}6^n\). Tras el 5.º: \(2\cdot0{,}6^5=0{,}1555\) m. Recorrido: \(2+2\cdot\frac{1{,}2}{1-0{,}6}=2+6=8\) m.

\(C_{10}=3000\cdot1{,}04^{10}\approx4440{,}73\) €. Intereses: \(1440{,}73\) €.

Dentro de \(6\) días: \(100\cdot3^6=72\,900\). Suma de los términos con \(a_1=100\) y \(r=3\), \(7\) términos: \(S_7=\frac{100(3^7-1)}{2}=109\,300\).

Altura del peldaño \(12\): \(20+11\cdot18=218\) cm. Suma: \(\frac{(20+218)\cdot12}{2}=1428\) cm.

La diferencia es la misma: \((x+3)-(x-1)=(2x+2)-(x+3)\Rightarrow4=x-1\Rightarrow x=5\). Los términos son \(4,\ 8,\ 12\).

Progresión geométrica con \(r=1{,}03\). \(a_{10}=18000\cdot1{,}03^9\approx23485{,}92\) €. \(S_{10}=18000\cdot\frac{1{,}03^{10}-1}{0{,}03}\approx206349{,}83\) €.

\(150\cdot2^{n-1}>100000\Rightarrow2^{n-1}>666{,}7\). Como \(2^9=512\) y \(2^{10}=1024\), hace falta \(n-1=10\): el mes \(n=11\) tiene \(150\cdot2^{10}=153\,600\) seguidores.

\(1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385\).

  1. \(a_{12}=20+11\cdot10=130\) €. b) \(S_{12}=\frac{(20+130)\cdot12}{2}=900\) €. c) \(S_n=5n^2+15n\ge1200\Rightarrow n^2+3n-240\ge0\); con \(n=14\): \(S_{14}=1190\) y con \(n=15\): \(S_{15}=1350\). Necesita \(15\) meses (con \(14\) solo llega a \(1190\) €).
  1. \(2^6=64\) capas. b) \(2^{10}\cdot0{,}1=102{,}4\) mm \(=10{,}24\) cm. c) Hay que superar \(2000\) mm \(\Rightarrow2^n\cdot0{,}1>2000\Rightarrow2^n>20000\); como \(2^{14}=16\,384\) y \(2^{15}=32\,768\), hacen falta \(15\) dobleces.
  1. A: \(24000+9\cdot1200=34800\) €. B: \(22000\cdot1{,}05^9\approx34129\) €. b) A: \(S=\frac{(24000+34800)\cdot10}{2}=294000\) €. B: \(22000\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}\approx276714\) €. c) Conviene A en el acumulado de 10 años.
  1. \(1+2+\dots+8=\frac{9\cdot8}{2}=36\) vasos. b) \(\frac{n(n+1)}{2}=120\Rightarrow n=15\) filas, y la de abajo tiene \(15\) vasos. c) \(\frac{16\cdot15}{2}=120\) vasos.