Potencias y raíces — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Calcula: a) \((-2)^5\) b) \(5^{-2}\) c) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\) d) \(7^0\) e) \(-3^4\) f) \((-3)^4\).

2. Simplifica y expresa como una sola potencia: \(\dfrac{2^7\cdot2^{-3}}{2^2}\).

3. Calcula escribiendo todo con base \(3\): \(\dfrac{3^4\cdot 9}{3^{2}}\cdot 3^{-1}\).

4. Escribe en notación científica: a) \(45\,000\,000\) b) \(0{,}000\,032\) c) \(1\,250\,000\,000\).

5. Calcula en notación científica: a) \((3{,}2\cdot10^{5})\cdot(2{,}5\cdot10^{-2})\) b) \(\dfrac{6\cdot10^{8}}{4\cdot10^{3}}\) c) \(5{,}1\cdot10^{6}+8\cdot10^{5}\).

6. Calcula: a) \(\sqrt{169}\) b) \(\sqrt[3]{-64}\) c) \(\sqrt[4]{81}\) d) \(\sqrt{\frac{49}{25}}\).

7. Extrae factores del radical: a) \(\sqrt{75}\) b) \(\sqrt{180}\) c) \(\sqrt[3]{250}\).

8. Calcula: \(\sqrt{48}+\sqrt{12}-\sqrt{75}\).

9. Racionaliza: a) \(\dfrac{10}{\sqrt5}\) b) \(\dfrac{21}{\sqrt7}\).

10. Redondea \(\sqrt{7}\) a las centésimas y calcula el error absoluto y el error relativo (en %) de la aproximación.

Problemas

11. La luz del Sol tarda unos \(500\) s en llegar a la Tierra y viaja a \(3\cdot10^{5}\) km/s. ¿A qué distancia está el Sol? Exprésalo en notación científica.

12. Una bacteria se divide en dos cada hora. Si empezamos con \(1\) bacteria, ¿cuántas hay a las \(12\) horas? ¿Y a las \(24\)? Exprésalo con potencias y en notación científica aproximada.

13. Un virus mide \(1{,}2\cdot10^{-7}\) m y una bacteria \(3\cdot10^{-6}\) m. ¿Cuántas veces es mayor la bacteria que el virus?

14. El lado de un cuadrado mide \(\sqrt{50}\) cm. Calcula su perímetro y su área, dando el perímetro simplificado.

15. Un cubo tiene volumen \(216\) cm³. Calcula su arista y la longitud de su diagonal (diagonal de una cara \(=a\sqrt2\), diagonal del cubo \(=a\sqrt3\)).

16. Un campo cuadrado tiene \(2\,401\) m² de superficie. Calcula su lado y cuántos metros de valla necesita.

17. Simplifica y calcula: \(\dfrac{(2^3)^2\cdot 4^{-1}}{2^{5}}\). Después, escribe el resultado como fracción.

18. La masa de la Tierra es \(5{,}97\cdot10^{24}\) kg y la de la Luna \(7{,}35\cdot10^{22}\) kg. ¿Cuántas veces es mayor la masa de la Tierra? ¿Cuánta masa tienen entre las dos?

19. Calcula el perímetro de un rectángulo de lados \(\sqrt{18}\) cm y \(\sqrt{8}\) cm, y su área. Da los resultados simplificados.

20. Halla el valor exacto de \(\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\) y de \(\left(\sqrt5+\sqrt3\right)^2\).

Competenciales

21. Doblar un folio. Un folio tiene un grosor de \(0{,}1\) mm \(=1\cdot10^{-4}\) m. Si lo doblas por la mitad \(n\) veces, el grosor se duplica cada vez. a) ¿Qué grosor tiene tras \(10\) dobleces? b) ¿Y tras \(42\) dobleces, aproximadamente (en notación científica)? c) La distancia de la Tierra a la Luna es de \(3{,}84\cdot10^{8}\) m. ¿Se llega a la Luna con \(42\) dobleces?

22. Memoria del móvil. Un archivo de fotos ocupa \(2^{23}\) bytes. Un móvil tiene \(64\) GB, es decir, \(64\cdot2^{30}\) bytes. a) ¿Cuántas fotos caben? Escribe el cociente como potencia de \(2\). b) Si cada foto ocupa \(2^{23}\) bytes y se hacen \(50\) fotos al día, ¿para cuántos días llega (redondea hacia abajo)?

23. Una pantalla. Una televisión de \(55\) pulgadas es de formato \(16:9\). La diagonal \(d\), el ancho \(16k\) y el alto \(9k\) cumplen \(d^2=(16k)^2+(9k)^2\). a) Calcula \(k\) en pulgadas. b) Calcula el ancho y el alto. (Una pulgada son \(2{,}54\) cm.) c) Da el área de la pantalla en m².

24. El Sol y la Tierra a escala. El diámetro del Sol es \(1{,}39\cdot10^{9}\) m y el de la Tierra \(1{,}27\cdot10^{7}\) m. a) ¿Cuántas veces cabe el diámetro de la Tierra en el del Sol? b) Si el Sol se representara con una pelota de \(1\) m de diámetro, ¿cuántos milímetros mediría la Tierra? c) La Tierra está a \(1{,}5\cdot10^{11}\) m del Sol. En esa misma maqueta, ¿a cuántos metros de la pelota habría que colocarla?

Soluciones

  1. \(-32\). b) \(\frac{1}{25}\). c) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}\). d) \(1\). e) \(-81\) (el signo no entra en la base). f) \(81\).

\(2^{7-3-2}=2^2=4\).

\(9=3^2\). Entonces \(3^{4+2-2-1}=3^3=27\).

  1. \(4{,}5\cdot10^{7}\). b) \(3{,}2\cdot10^{-5}\). c) \(1{,}25\cdot10^{9}\).
  1. \(3{,}2\cdot2{,}5=8\) y \(10^{5-2}=10^3\): \(8\cdot10^{3}\). b) \(\frac{6}{4}=1{,}5\) y \(10^{8-3}=10^5\): \(1{,}5\cdot10^{5}\). c) \(5{,}1\cdot10^6+0{,}8\cdot10^6=5{,}9\cdot10^{6}\).
  1. \(13\) porque \(13^2=169\). b) \(-4\) porque \((-4)^3=-64\). c) \(3\) porque \(3^4=81\). d) \(\frac{7}{5}\).
  1. \(75=3\cdot5^2\), luego \(\sqrt{75}=5 \sqrt{3}\). b) \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\), luego \(\sqrt{180}=6 \sqrt{5}\). c) \(250=2\cdot5^3\), luego \(\sqrt[3]{250}=5 \sqrt[3]{2}\).

\(\sqrt{48}=4\sqrt3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt3\) y \(\sqrt{75}=5\sqrt3\). Resultado: \((4+2-5)\sqrt3=\sqrt{3}\).

  1. \(\frac{10\sqrt5}{5}=2 \sqrt{5}\). b) \(\frac{21\sqrt7}{7}=3 \sqrt{7}\).

\(\sqrt7=2{,}6457\ldots\approx2{,}65\). \(E_a=|2{,}6457-2{,}65|\approx0{,}0042\). \(E_r=\frac{0{,}0042}{2{,}6457}\approx0{,}16\,\%\).

\(d=v\cdot t=3\cdot10^5\cdot5\cdot10^2=15\cdot10^7=1{,}5\cdot10^{8}\) km.

A las \(12\) h hay \(2^{12}=4\,096\). A las \(24\) h hay \(2^{24}=16\,777\,216\approx1{,}68\cdot10^{7}\).

\(\dfrac{3\cdot10^{-6}}{1{,}2\cdot10^{-7}}=2{,}5\cdot10^{1}=25\) veces.

Área: \((\sqrt{50})^2=50\) cm². Perímetro: \(4\sqrt{50}=4\cdot5\sqrt2=20 \sqrt{2}\) cm \(\approx28{,}28\) cm.

Arista: \(\sqrt[3]{216}=6\) cm. Diagonal del cubo: \(6\sqrt3=6 \sqrt{3}\approx10{,}39\) cm.

Lado: \(\sqrt{2401}=49\) m. Valla: \(4\cdot49=196\) m.

\(4^{-1}=2^{-2}\). Entonces \(\frac{2^6\cdot2^{-2}}{2^5}=2^{6-2-5}=2^{-1}=\frac{1}{2}\).

Cociente: \(\frac{5{,}97\cdot10^{24}}{7{,}35\cdot10^{22}}\approx81{,}2\) veces. Suma: \(5{,}97\cdot10^{24}+0{,}0735\cdot10^{24}=6{,}0435\cdot10^{24}\) kg.

\(\sqrt{18}=3\sqrt2\) y \(\sqrt8=2\sqrt2\). Perímetro: \(2(3\sqrt2+2\sqrt2)=10\sqrt2\) cm. Área: \(3\sqrt2\cdot2\sqrt2=12\) cm².

La primera es una diferencia de cuadrados: \(5-3=2\). La segunda: \(5+2\sqrt{15}+3=2 \sqrt{15} + 8\).

  1. \(10^{-4}\cdot2^{10}=1{,}024\cdot10^{-1}\) m \(\approx0{,}1\) m. b) \(10^{-4}\cdot2^{42}\approx4{,}4\cdot10^{8}\) m. c) Sí: \(4{,}4\cdot10^8>3{,}84\cdot10^8\) (en la práctica no es posible doblar tanto un folio).
  1. \(\frac{64\cdot2^{30}}{2^{23}}=2^{6+30-23}=2^{13}=8\,192\) fotos. b) \(8\,192:50=163\) días.
  1. \(55^2=337k^2\Rightarrow k=\frac{55}{\sqrt{337}}\approx2{,}996\) pulgadas. b) Ancho \(\approx47{,}9\) in \(=121{,}8\) cm; alto \(\approx27\) in \(=68{,}5\) cm. c) \(A\approx0{,}834\) m².
  1. \(\frac{1{,}39\cdot10^9}{1{,}27\cdot10^7}\approx109\) veces. b) \(\frac{1{,}27\cdot10^7}{1{,}39\cdot10^9}\cdot1000\approx9{,}1\) mm. c) La escala es \(1:1{,}39\cdot10^9\), así que \(\frac{1{,}5\cdot10^{11}}{1{,}39\cdot10^9}\approx108\) m.