Números racionales — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Descompón en factores primos 84 y 120 y calcula su m.c.d. y su m.c.m.

2. Simplifica hasta obtener la fracción irreducible: \(\frac{90}{126}\). ¿Cuál es el m.c.d. que has usado?

3. Ordena de menor a mayor: \(\frac{7}{12},\ \frac{9}{16},\ \frac{5}{8}\).

4. Calcula y simplifica: a) \(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\) b) \(\frac{5}{6}-\frac{3}{4}\) c) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\) d) \(\frac{5}{6}:\frac{3}{4}\).

5. Calcula: \(\frac{1}{2}-\left(-\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\right)\cdot\frac{5}{3}\).

6. Clasifica estos decimales como exactos, periódicos puros o periódicos mixtos: \(0{,}125\), \(0{,}\overline{36}\), \(2{,}1\overline{6}\), \(5{,}\overline{4}\).

7. Halla la fracción generatriz de: a) \(0{,}125\) b) \(0{,}\overline{36}\) c) \(2{,}1\overline{6}\). Simplifica.

8. Escribe en forma decimal y di de qué tipo es: a) \(\frac{7}{8}\) b) \(\frac{5}{6}\) c) \(\frac{4}{11}\).

9. Calcula las fracciones: a) \(\frac{3}{5}\) de \(350\) b) el \(\frac{2}{7}\) de \(91\) c) ¿qué fracción de \(60\) es \(45\)? Simplifica.

10. Representa en la recta numérica \(\frac{5}{3}\), \(-\frac{3}{4}\) y \(1{,}\overline{3}\) e indica entre qué enteros están.

Problemas

11. Un depósito está lleno de agua. El lunes se gasta \(\frac{1}{4}\), el martes \(\frac{2}{5}\) de lo que había al principio. ¿Qué fracción queda? Si el depósito tiene \(2\,000\) L, ¿cuántos litros quedan?

12. De los \(240\) alumnos de un instituto, \(\frac{3}{8}\) van en autobús, \(\frac{1}{6}\) en bicicleta y el resto andando. ¿Cuántos van andando? ¿Qué fracción representan?

13. Una cuerda mide \(\frac{15}{2}\) m. Se corta en trozos de \(\frac{3}{4}\) m. ¿Cuántos trozos salen? ¿Sobra algo?

14. Dos farolas se encienden a la vez. Una parpadea cada \(12\) segundos y otra cada \(18\). ¿Cuándo coinciden por primera vez después? ¿Cuántas veces coinciden en \(5\) minutos (sin contar el inicio)?

15. Tengo \(48\) caramelos de fresa y \(72\) de limón. Quiero hacer bolsas iguales, sin que sobre ninguno y con el mayor número de bolsas. ¿Cuántas bolsas hago y qué lleva cada una?

16. Una receta usa \(\frac{3}{4}\) de litro de leche para \(6\) personas. ¿Cuánta leche hace falta para \(10\) personas? ¿Y para \(4\)?

17. Pedro lee \(\frac{2}{5}\) de un libro el sábado y \(\frac{1}{3}\) del resto el domingo. ¿Qué fracción del libro ha leído en total? ¿Qué fracción le falta?

18. Ana gasta \(\frac{1}{3}\) de su paga en cine y \(\frac{1}{4}\) en comida. Aún le quedan \(15\) €. ¿Cuánto tenía?

19. Una piscina se llena con un grifo en \(6\) horas y con otro en \(4\) horas. ¿Qué fracción llena cada uno en una hora? ¿Cuánto tardan abriendo los dos a la vez?

20. Halla el número que cumple: sus \(\frac{3}{5}\) más \(14\) es igual al número menos \(\frac{1}{10}\) de él.

Competenciales

21. Hojas de papel. Los formatos de papel A se obtienen doblando por la mitad: un A3 tiene el doble de superficie que un A4, y un A4 el doble que un A5. Un A0 mide \(1\) m² de superficie. a) ¿Qué fracción de m² mide un A4? b) Una resma tiene \(500\) hojas A4; ¿cuántos m² de papel hay? c) ¿Cuántas hojas A5 se obtienen de un A0?

22. El menú del comedor. En el comedor, \(\frac{2}{5}\) de los \(150\) alumnos eligen pasta, \(\frac{1}{3}\) eligen pescado y el resto, carne. a) ¿Cuántos eligen cada plato? b) El pescado cuesta \(3{,}20\) € por ración, la pasta \(2{,}50\) € y la carne \(3{,}80\) €. ¿Cuánto cuesta el comedor un día? c) ¿Qué fracción de alumnos come carne?

23. Autobuses. Un autobús urbano sale de la cabecera cada \(15\) minutos y otro, interurbano, cada \(40\). Salen juntos a las \(8{:}00\). a) ¿A qué hora vuelven a salir juntos? b) ¿Cuántas veces coinciden entre las \(8{:}00\) y las \(20{:}00\) (incluidas ambas horas)? c) ¿Cuántos viajes hace cada uno en ese tiempo, contando la salida de las \(8{:}00\)?

24. Escalas de música. En una partitura, una redonda dura \(1\) tiempo completo (4 pulsos), la blanca \(\frac{1}{2}\), la negra \(\frac{1}{4}\) y la corchea \(\frac{1}{8}\) (como fracción de la redonda). Un compás de \(\frac{3}{4}\) debe sumar \(\frac{3}{4}\). a) ¿Cuadra un compás con una blanca, una negra y dos corcheas? b) ¿Qué falta en un compás con una blanca y una corchea? c) Escribe otro compás con tres figuras distintas.

Soluciones

\(84=2^2\cdot3\cdot7\) y \(120=2^3\cdot3\cdot5\). El m.c.d. toma los factores comunes con el menor exponente: \(12\). El m.c.m. toma todos con el mayor exponente: \(840\).

El m.c.d.\((90,126)=18\). Dividiendo: \(\frac{90}{126}=\frac{5}{7}\), que es irreducible.

Con denominador común \(48\): \(\frac{28}{48},\ \frac{27}{48},\ \frac{30}{48}\). Por tanto \(\frac{9}{16}<\frac{7}{12}<\frac{5}{8}\).

  1. \(\frac{10}{12}+\frac{9}{12}=\frac{19}{12}\). b) \(\frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}\). c) \(\frac{15}{24}=\frac{5}{8}\). d) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\).

Paréntesis: \(-\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=-\frac{1}{10}\). Producto: \(-\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{3}=-\frac{1}{6}\). Resta: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\).

\(0{,}125\) es exacto. \(0{,}\overline{36}\) es periódico puro (periodo \(36\)). \(2{,}1\overline{6}\) es periódico mixto (anteperiodo \(1\), periodo \(6\)). \(5{,}\overline{4}\) es periódico puro (periodo \(4\)).

  1. \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\). b) \(\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\). c) \(\frac{216-21}{90}=\frac{195}{90}=\frac{13}{6}\).
  1. \(7:8=0{,}875\) (exacto). b) \(5:6=0{,}8\overline{3}\) (periódico mixto). c) \(4:11=0{,}\overline{36}\) (periódico puro).
  1. \(\frac{3}{5}\cdot350=210\). b) \(\frac{2}{7}\cdot91=26\). c) \(\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{5}{3}=1{,}\overline{6}\) está entre \(1\) y \(2\). \(-\frac{3}{4}=-0{,}75\) está entre \(-1\) y \(0\). \(1{,}\overline{3}=\frac{4}{3}\) está entre \(1\) y \(2\), antes que \(\frac{5}{3}\).

Se gasta \(\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{13}{20}\). Quedan \(1-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}\) del depósito, es decir, \(700\) L.

Autobús: \(90\). Bicicleta: \(40\). Andando: \(240-90-40=110\) alumnos, que son \(\frac{110}{240}=\frac{11}{24}\).

\(\frac{15}{2}:\frac{3}{4}=\frac{15}{2}\cdot\frac{4}{3}=10\) trozos exactos, sin sobrante.

m.c.m.\((12,18)=36\) s. En \(300\) s coinciden \(\left\lfloor\frac{300}{36}\right\rfloor=8\) veces (a los \(36,\ 72,\dots,288\) s).

m.c.d.\((48,72)=24\) bolsas. Cada una lleva \(2\) de fresa y \(3\) de limón.

Por persona: \(\frac{3}{4}:6=\frac{1}{8}\) L. Para \(10\): \(\frac{5}{4}\) L. Para \(4\): \(\frac{1}{2}\) L.

Sábado: \(\frac{2}{5}\); resto: \(\frac{3}{5}\). Domingo: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{5}\). Total: \(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\). Falta \(\frac{2}{5}\).

Gasta \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\), le queda \(\frac{5}{12}\). Si \(\frac{5}{12}\) es \(15\) €, la paga es \(15:\frac{5}{12}=36\) €.

En una hora: \(\frac{1}{6}\) y \(\frac{1}{4}\). Juntos: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\) por hora. Tardan \(1:\frac{5}{12}=\frac{12}{5}\) h \(=2\) h \(24\) min.

\(\frac{3}{5}x+14=x-\frac{x}{10}\Rightarrow14=x\left(\frac{9}{10}-\frac{6}{10}\right)=\frac{3x}{10}\Rightarrow x=\frac{140}{3}\).

  1. De A0 a A4 se dobla \(4\) veces: \(\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\) m². b) \(500\cdot\frac{1}{16}=\frac{125}{4}\) m² \(=31{,}25\) m². c) A5 es \(\frac{1}{32}\) de A0: \(32\) hojas.
  1. Pasta \(60\); pescado \(50\); carne \(40\). b) \(60\cdot2{,}50+50\cdot3{,}20+40\cdot3{,}80=462{,}00\) €. c) \(\frac{40}{150}=\frac{4}{15}\).
  1. m.c.m.\((15,40)=120\) min: a las \(10{:}00\). b) Cada \(120\) min durante \(720\) min: \(7\) veces. c) El urbano: \(720:15+1=49\) viajes; el interurbano: \(720:40+1=19\) viajes.
  1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{8}=1\): no cuadra, es un compás completo de \(4/4\). b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}\); faltan \(\frac{3}{4}-\frac{5}{8}=\frac{1}{8}\), es decir, una corchea. c) Por ejemplo, blanca (\(\frac{1}{2}\)) + corchea (\(\frac{1}{8}\)) + corchea (\(\frac{1}{8}\)) \(=\frac{3}{4}\) (respuesta abierta).