Probabilidad — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de estadística, 2 puntos, sin opciones). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. Se usa \(A^C\) para el complementario de \(A\) y \(A-B=A\cap B^C\). En las poblaciones finitas, las extracciones se hacen con reemplazamiento, salvo que se diga lo contrario.

Sucesos y propiedades

1. Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos con \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calcula: a) \(P(A\cup B)\); b) \(P(A^C)\); c) \(P(A-B)\); d) \(P(A^C\cap B^C)\).

2. Sean \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}5\) y \(P(A\cup B)=0{,}8\). Calcula: a) \(P(A\cap B)\); b) \(P(A^C\cup B^C)\); c) \(P(A^C\cap B^C)\). Indica qué ley de De Morgan usas en b) y en c).

3. Se lanzan dos dados equilibrados. Calcula la probabilidad de: a) que la suma sea 8; b) que la suma sea al menos 10; c) que salga al menos un 6.

Experimentos compuestos, condicionada e independencia

4. Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen dos bolas. Calcula la probabilidad de que las dos sean rojas: a) con reemplazamiento; b) sin reemplazamiento. c) Calcula, sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean de distinto color.

5. Sean \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calcula \(P(A\mid B)\) y \(P(B\mid A)\) y decide si \(A\) y \(B\) son independientes.

6. Los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes, con \(P(A)=0{,}3\) y \(P(B)=0{,}5\). Calcula: a) \(P(A\cap B)\); b) \(P(A\cup B)\); c) \(P(A^C\cap B)\).

7. En un club deportivo de 120 personas, 30 hombres y 20 mujeres están federados, y 25 hombres y 45 mujeres no lo están. Se elige una persona al azar. Sean \(F\) «está federada» y \(M\) «es mujer». Calcula: a) \(P(F)\) y \(P(M)\); b) \(P(F\cap M)\); c) \(P(F\mid M)\) y \(P(M\mid F)\); d) ¿son \(F\) y \(M\) independientes?

Probabilidad total y Bayes

8. Se elige una de dos urnas con la misma probabilidad. La urna 1 tiene 3 bolas rojas y 2 blancas; la urna 2, 1 roja y 4 blancas. Se extrae una bola de la urna elegida. Calcula la probabilidad de que sea roja.

9. En el experimento del ejercicio 8, la bola extraída es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la urna 1?

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Una fábrica tiene tres máquinas. La máquina \(M_1\) produce el \(50\,\%\) de las piezas, \(M_2\) el \(30\,\%\) y \(M_3\) el \(20\,\%\). Son defectuosas el \(2\,\%\) de las de \(M_1\), el \(3\,\%\) de las de \(M_2\) y el \(6\,\%\) de las de \(M_3\). Se elige una pieza al azar.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

  2. (0,5 puntos) Si es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de \(M_1\).

  3. (0,5 puntos) Si es defectuosa, calcula la probabilidad de que proceda de \(M_3\) y decide qué máquina es el origen más probable.

  4. (0,5 puntos) Interpreta por qué \(M_3\), que produce menos piezas, es el origen más probable.

11. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Una enfermedad afecta al \(1\,\%\) de la población. Una prueba da positivo en el \(90\,\%\) de las personas enfermas y, por error, en el \(5\,\%\) de las sanas. Se elige una persona al azar.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que la prueba dé positivo.

  2. (0,5 puntos) Si da positivo, calcula la probabilidad de que la persona esté enferma.

  3. (0,5 puntos) Si da negativo, calcula la probabilidad de que la persona esté enferma.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado de b): ¿conviene confirmar un positivo con otra prueba?

12. (Tipo PAU · 2 puntos) Sean \(A\) y \(B\) sucesos con \(P(A)=0{,}55\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(A\cup B)=0{,}7\).

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\cap B)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(A-B)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(A^C\cap B^C)\).

  4. (0,5 puntos) Estudia si \(A\) y \(B\) son independientes.

13. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una encuesta a 500 personas, 80 viven en zona urbana y van en coche al trabajo, 170 viven en zona urbana y van en transporte público, 190 viven en zona rural y van en coche, y 60 viven en zona rural y van en transporte público. Se elige una persona al azar. Sean \(C\) «va en coche» y \(U\) «vive en zona urbana».

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(C)\) y \(P(U)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(C\mid U)\) y \(P(C\mid U^C)\).

  3. (0,5 puntos) Estudia si \(C\) y \(U\) son independientes.

  4. (0,5 puntos) Interpreta los resultados del apartado b) en el contexto.

14. (Tipo PAU · 2 puntos) Una bolsa contiene 4 bolas verdes y 2 amarillas. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que las dos sean verdes.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que sean de distinto color.

  3. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que al menos una sea amarilla.

  4. (0,5 puntos) Comprueba que los apartados a), b) y la probabilidad de que las dos sean amarillas suman 1.

15. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Un local tiene dos sistemas de alarma independientes, que detectan una intrusión con probabilidad \(0{,}9\) y \(0{,}85\), respectivamente. Hay una intrusión.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que la detecten los dos.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que la detecte al menos uno.

  3. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que la detecte exactamente uno.

  4. (0,5 puntos) Interpreta por qué instalar dos sistemas aumenta la seguridad.

16. (Tipo PAU · 2 puntos) Una empresa de reparto tiene dos almacenes: el \(A_1\) prepara el \(60\,\%\) de los pedidos y el \(A_2\) el \(40\,\%\). Se retrasa el \(10\,\%\) de los pedidos de \(A_1\) y el \(25\,\%\) de los de \(A_2\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un pedido se retrase.

  2. (0,5 puntos) Si un pedido se ha retrasado, calcula la probabilidad de que lo prepare \(A_1\).

  3. (0,5 puntos) Si un pedido se ha retrasado, calcula la probabilidad de que lo prepare \(A_2\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo.

17. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una encuesta a 300 personas, 150 compran ropa por internet (\(A\)), 120 compran calzado (\(B\)) y 60 compran ambas cosas.

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\cup B)\) y la probabilidad de que no compre ninguna de las dos cosas.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(A-B)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\mid B)\).

  4. (0,5 puntos) Estudia si \(A\) y \(B\) son independientes e interpreta el resultado.

18. (Tipo PAU · 2 puntos) Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Sean \(R\) «es un rey» y \(O\) «es de oros».

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(R)\) y \(P(O)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(R\cap O)\) y estudia si \(R\) y \(O\) son independientes.

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(F\mid O)\), siendo \(F\) «es una figura» (sota, caballo o rey).

  4. (0,5 puntos) Se extraen dos cartas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos sean reyes.

19. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Una aseguradora clasifica a sus clientes en riesgo bajo (\(60\,\%\)), medio (\(30\,\%\)) y alto (\(10\,\%\)). La probabilidad de tener un siniestro en el año es \(0{,}01\), \(0{,}04\) y \(0{,}15\), respectivamente.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un cliente tenga un siniestro.

  2. (0,5 puntos) Si un cliente ha tenido un siniestro, calcula la probabilidad de que sea de riesgo alto.

  3. (0,5 puntos) Si un cliente ha tenido un siniestro, calcula la probabilidad de que sea de riesgo bajo.

  4. (0,5 puntos) Interpreta cómo cambia la probabilidad de riesgo alto antes y después de saber que hubo siniestro.

20. (Tipo PAU · 2 puntos) Un jugador de baloncesto encesta cada tiro libre con probabilidad \(0{,}7\), con independencia de los demás. Lanza tres tiros libres.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que enceste los tres.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que no enceste ninguno.

  3. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que enceste al menos uno.

  4. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que enceste exactamente dos.

21. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) La probabilidad de que llueva un día es \(0{,}3\). Un servicio de predicción avisa de lluvia el \(80\,\%\) de los días en que llueve y el \(10\,\%\) de los días en que no llueve.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que el servicio avise de lluvia.

  2. (0,5 puntos) Si ha avisado de lluvia, calcula la probabilidad de que llueva.

  3. (0,5 puntos) Si no ha avisado, calcula la probabilidad de que llueva.

  4. (0,5 puntos) Decide, con estos resultados, si conviene llevar paraguas cuando hay aviso y cuando no lo hay.

22. (Tipo PAU · 2 puntos) Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos incompatibles con \(P(A)=0{,}3\) y \(P(B)=0{,}45\).

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\cup B)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(A^C\cap B^C)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\mid B)\).

  4. (0,5 puntos) ¿Son independientes? Justifica la respuesta.

23. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En un proceso de selección, el \(60\,\%\) de los candidatos supera la primera fase. Quien la supera pasa la segunda fase con probabilidad \(0{,}5\), y quien no la supera queda eliminado. Se contrata a quien supera las dos fases.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un candidato sea contratado.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que no sea contratado.

  3. (0,5 puntos) Entre los no contratados, calcula la probabilidad de que hubieran superado la primera fase.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado de c).

24. (Tipo PAU · 2 puntos) Sean \(P(A)=0{,}7\), \(P(B)=0{,}6\) y \(P(A\cup B)=0{,}9\).

  1. (0,5 puntos) Calcula \(P(A\cap B)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(A^C\cap B^C)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(A^C\cup B^C)\) y justifica con De Morgan que es el complementario de \(A\cap B\).

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(B-A)\) y estudia si \(A\) y \(B\) son independientes.

25. (Tipo PAU · 2 puntos) Una tienda vende el \(40\,\%\) de sus productos por internet y el \(60\,\%\) en la tienda física. Se devuelve el \(15\,\%\) de lo vendido por internet y el \(5\,\%\) de lo vendido en tienda.

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un producto vendido sea devuelto.

  2. (0,5 puntos) Si un producto ha sido devuelto, calcula la probabilidad de que se vendiera por internet.

  3. (0,5 puntos) Si un producto ha sido devuelto, calcula la probabilidad de que se vendiera en la tienda.

  4. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un producto no sea devuelto.

Soluciones

  1. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7\).

  2. \(P(A^C)=1-P(A)=1-0{,}5=0{,}5\).

  3. \(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}2=0{,}3\).

  4. \(P(A^C\cap B^C)=P((A\cup B)^C)=1-0{,}7=0{,}3\).

  1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3\).

  2. Por la ley de De Morgan, \(A^C\cup B^C=(A\cap B)^C\), luego \(P(A^C\cup B^C)=1-P(A\cap B)=1-0{,}3=0{,}7\).

  3. Por la otra ley de De Morgan, \(A^C\cap B^C=(A\cup B)^C\), luego \(P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)=1-0{,}8=0{,}2\).

Hay \(36\) resultados equiprobables (regla de Laplace).

  1. Suma 8: \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\): \(P=\dfrac{5}{36}\).

  2. Suma al menos 10: \((4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\): \(P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).

  3. Al menos un 6: \(36-25=11\) resultados: \(P=\dfrac{11}{36}\).

  1. Con reemplazamiento las extracciones son independientes: \(P(\text{dos rojas})=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\dfrac{25}{64}\).

  2. Sin reemplazamiento: \(P(\text{dos rojas})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\dfrac{5}{14}\).

  3. Sin reemplazamiento: \(P(\text{distinto color})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\dfrac{15}{28}\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\) y \(P(B\mid A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\). Como \(P(A\mid B)=P(A)=0{,}5\), o también \(P(A\cap B)=0{,}2=P(A)P(B)=0{,}5\cdot0{,}4\), los sucesos son independientes.

  1. \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15\).

  2. \(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}5-0{,}15=0{,}65\).

  3. Si \(A\) y \(B\) son independientes, también lo son \(A^C\) y \(B\): \(P(A^C\cap B)=0{,}7\cdot0{,}5=0{,}35\).

  1. \(P(F)=\dfrac{30+20}{120}=\dfrac{5}{12}\) y \(P(M)=\dfrac{20+45}{120}=\dfrac{13}{24}\).

  2. \(P(F\cap M)=\dfrac{20}{120}=\frac{1}{6}\).

  3. \(P(F\mid M)=\dfrac{20}{65}=\dfrac{4}{13}\) y \(P(M\mid F)=\dfrac{20}{50}=\frac{2}{5}\).

  4. \(P(F\cap M)=\frac{1}{6}\) y \(P(F)P(M)=\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{13}{24}=\dfrac{65}{288}\). Son distintos: no son independientes (entre las mujeres, solo el \(4/13\approx31\,\%\) está federada, frente al \(5/12\approx42\,\%\) del total).

Sea \(U_i\) «se elige la urna \(i\)» y \(R\) «la bola es roja». Por la probabilidad total, \(P(R)=P(U_1)P(R\mid U_1)+P(U_2)P(R\mid U_2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}\).

Por Bayes, \(P(U_1\mid R)=\dfrac{P(U_1)P(R\mid U_1)}{P(R)}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}}=\dfrac{3}{4}\).

  1. Por la probabilidad total, \(P(D)=0{,}5\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}03+0{,}2\cdot0{,}06=0{,}010+0{,}009+0{,}012=0{,}031\).

  2. Por Bayes, \(P(M_1\mid D)=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}02}{0{,}031}=\dfrac{0{,}010}{0{,}031}=\dfrac{10}{31}\approx0{,}323\).

  3. \(P(M_3\mid D)=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}06}{0{,}031}=\dfrac{0{,}012}{0{,}031}=\dfrac{12}{31}\approx0{,}387\). Además, \(P(M_2\mid D)=\dfrac{9}{31}\approx0{,}290\). El origen más probable es \(M_3\).

  4. \(M_3\) produce solo el \(20\,\%\) de las piezas, pero entre las defectuosas su peso sube al \(38{,}7\,\%\) porque su tasa de defectos es la mayor (\(6\,\%\)). Al saber que la pieza es defectuosa, las probabilidades a priori \((0{,}5;\ 0{,}3;\ 0{,}2)\) se actualizan a las probabilidades a posteriori.

Sea \(E\) «está enferma» y \(P\) «la prueba da positivo».

  1. \(P(P)=0{,}01\cdot0{,}9+0{,}99\cdot0{,}05=0{,}009+0{,}0495=0{,}0585\).

  2. \(P(E\mid P)=\dfrac{0{,}009}{0{,}0585}=\dfrac{2}{13}\approx0{,}154\).

  3. \(P(E\mid P^C)=\dfrac{0{,}01\cdot0{,}1}{1-0{,}0585}=\dfrac{0{,}001}{0{,}9415}\approx0{,}0011\).

  4. Aunque la prueba acierta el \(90\,\%\) de los enfermos, solo el \(15{,}4\,\%\) de los positivos está realmente enfermo, porque la enfermedad es rara. Conviene confirmar un positivo con otra prueba. Un negativo, en cambio, deja una probabilidad de enfermedad de apenas el \(0{,}11\,\%\).

  1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}55+0{,}4-0{,}7=0{,}25\).

  2. \(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}55-0{,}25=0{,}3\).

  3. \(P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)=1-0{,}7=0{,}3\).

  4. \(P(A)P(B)=0{,}55\cdot0{,}4=0{,}22\neq P(A\cap B)=0{,}25\): no son independientes.

  1. \(P(C)=\dfrac{80+190}{500}=0{,}54\) y \(P(U)=\dfrac{80+170}{500}=0{,}5\).

  2. \(P(C\mid U)=\dfrac{80}{250}=0{,}32\) y \(P(C\mid U^C)=\dfrac{190}{250}=0{,}76\).

  3. \(P(C\cap U)=\dfrac{80}{500}=0{,}16\) y \(P(C)P(U)=0{,}54\cdot0{,}5=0{,}27\). Son distintos: no son independientes.

  4. En zona urbana solo el \(32\,\%\) va en coche al trabajo, frente al \(76\,\%\) en zona rural: la zona de residencia influye en el medio de transporte (más transporte público en la ciudad).

  1. \(P(\text{dos verdes})=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\).

  2. \(P(\text{distinto color})=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}=\dfrac{8}{15}\).

  3. \(P(\text{al menos una amarilla})=1-P(\text{dos verdes})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).

  4. \(P(\text{dos amarillas})=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\) y \(\frac{2}{5}+\frac{8}{15}+\frac{1}{15}=\dfrac{6+8+1}{15}=1\).

  1. Por independencia, \(P(\text{ambos})=0{,}9\cdot0{,}85=0{,}765\).

  2. \(P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})=1-0{,}1\cdot0{,}15=0{,}985\).

  3. \(P(\text{exactamente uno})=0{,}9\cdot0{,}15+0{,}1\cdot0{,}85=0{,}135+0{,}085=0{,}22\).

  4. Con un solo sistema, la probabilidad de no detectar es \(0{,}1\) o \(0{,}15\); con los dos, solo \(0{,}1\cdot0{,}15=0{,}015\). La intrusión pasa inadvertida \(1{,}5\) de cada 100 veces, mucho menos que con un sistema aislado.

  1. \(P(R)=0{,}6\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}25=0{,}06+0{,}10=0{,}16\).

  2. \(P(A_1\mid R)=\dfrac{0{,}6\cdot0{,}1}{0{,}16}=\dfrac{0{,}06}{0{,}16}=0{,}375\).

  3. \(P(A_2\mid R)=\dfrac{0{,}4\cdot0{,}25}{0{,}16}=\dfrac{0{,}10}{0{,}16}=0{,}625\).

  4. \(P(R^C)=1-0{,}16=0{,}84\).

  1. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7\). No compra ninguna: \(1-0{,}7=0{,}3\).

  2. \(P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}2=0{,}3\).

  3. \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).

  4. \(P(A)P(B)=0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)\): son independientes. Comprar calzado por internet no cambia la probabilidad de comprar ropa por internet: la mitad de los compradores de calzado (como la mitad del total) compra ropa.

  1. \(P(R)=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}\) y \(P(O)=\dfrac{10}{40}=\frac{1}{4}\).

  2. Solo hay un rey de oros: \(P(R\cap O)=\frac{1}{40}\). Como \(P(R)P(O)=\dfrac{1}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{40}\), son independientes.

  3. Entre las 10 cartas de oros hay 3 figuras: \(P(F\mid O)=\dfrac{3}{10}\), igual que \(P(F)=\dfrac{12}{40}=\frac{3}{10}\).

  4. \(P(\text{dos reyes})=\dfrac{4}{40}\cdot\dfrac{3}{39}=\dfrac{1}{130}\).

Sea \(S\) «tiene un siniestro».

  1. \(P(S)=0{,}6\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}04+0{,}1\cdot0{,}15=0{,}006+0{,}012+0{,}015=0{,}033\).

  2. \(P(\text{alto}\mid S)=\dfrac{0{,}1\cdot0{,}15}{0{,}033}=\dfrac{0{,}015}{0{,}033}=\dfrac{5}{11}\approx0{,}455\).

  3. \(P(\text{bajo}\mid S)=\dfrac{0{,}6\cdot0{,}01}{0{,}033}=\dfrac{0{,}006}{0{,}033}=\dfrac{2}{11}\approx0{,}182\).

  4. Los clientes de riesgo alto son el \(10\,\%\) de la cartera (probabilidad a priori), pero entre los que sufren un siniestro suben al \(45{,}5\,\%\) (probabilidad a posteriori): la aseguradora debe revisar al alza el riesgo de quien ha tenido un siniestro.

  1. \(P(\text{tres})=0{,}7^3=0{,}343\).

  2. \(P(\text{ninguno})=0{,}3^3=0{,}027\).

  3. \(P(\text{al menos uno})=1-0{,}027=0{,}973\).

  4. Hay 3 formas de encestar dos y fallar uno: \(P(\text{dos})=3\cdot0{,}7^2\cdot0{,}3=0{,}441\).

Sea \(L\) «llueve» y \(V\) «el servicio avisa».

  1. \(P(V)=0{,}3\cdot0{,}8+0{,}7\cdot0{,}1=0{,}24+0{,}07=0{,}31\).

  2. \(P(L\mid V)=\dfrac{0{,}24}{0{,}31}=\dfrac{24}{31}\approx0{,}774\).

  3. \(P(L\mid V^C)=\dfrac{0{,}3\cdot0{,}2}{1-0{,}31}=\dfrac{0{,}06}{0{,}69}=\dfrac{2}{23}\approx0{,}087\).

  4. Con aviso, llueve con probabilidad \(0{,}77\): conviene llevar paraguas. Sin aviso, solo con probabilidad \(0{,}087\): se puede salir sin él, aunque con algo de riesgo.

  1. Por ser incompatibles, \(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}45=0{,}75\).

  2. \(P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)=1-0{,}75=0{,}25\).

  3. \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0}{0{,}45}=0\).

  4. \(P(A)P(B)=0{,}3\cdot0{,}45=0{,}135\neq P(A\cap B)=0\): no son independientes. Dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes: si ocurre uno, el otro es imposible.

Sea \(F_1\) «supera la primera fase» y \(H\) «es contratado».

  1. \(P(H)=0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3\).

  2. \(P(H^C)=1-0{,}3=0{,}7\).

  3. No contratado y con la primera fase superada: \(0{,}6\cdot0{,}5=0{,}3\). Entonces \(P(F_1\mid H^C)=\dfrac{0{,}3}{0{,}7}=\dfrac{3}{7}\approx0{,}429\).

  4. Entre los candidatos no contratados, el \(42{,}9\,\%\) había superado la primera fase y cayó en la segunda; el resto, el \(57{,}1\,\%\), se quedó en la primera.

  1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}7+0{,}6-0{,}9=0{,}4\).

  2. \(P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)=1-0{,}9=0{,}1\).

  3. Por De Morgan, \(A^C\cup B^C=(A\cap B)^C\), luego \(P(A^C\cup B^C)=1-0{,}4=0{,}6\).

  4. \(P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}6-0{,}4=0{,}2\). Como \(P(A)P(B)=0{,}7\cdot0{,}6=0{,}42\neq0{,}4=P(A\cap B)\), no son independientes.

Sea \(I\) «vendido por internet» y \(D\) «devuelto».

  1. \(P(D)=0{,}4\cdot0{,}15+0{,}6\cdot0{,}05=0{,}06+0{,}03=0{,}09\).

  2. \(P(I\mid D)=\dfrac{0{,}06}{0{,}09}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}667\).

  3. \(P(I^C\mid D)=\dfrac{0{,}03}{0{,}09}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}333\).

  4. \(P(D^C)=1-0{,}09=0{,}91\).