Integrales — relación de ejercicios

Ejercicios de integrales de 2º Bachillerato Ciencias Sociales (Matemáticas Aplicadas II) en Andalucía, con soluciones paso a paso. Incluye ejercicios tipo PAU (Selectividad Andalucía).

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. Siempre se puede comprobar una primitiva derivándola.

Primitivas

1. Calcula: a) \(\displaystyle\int(4x^3-6x+5)\,dx\); b) \(\displaystyle\int\left(\frac{1}{x}+3e^x\right)dx\); c) \(\displaystyle\int\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)dx\).

2. Calcula: a) \(\displaystyle\int(3x-1)^4\,dx\); b) \(\displaystyle\int e^{2x+1}\,dx\); c) \(\displaystyle\int\dfrac{1}{5x-2}\,dx\).

3. Calcula: a) \(\displaystyle\int x\,(x^2+1)^3\,dx\); b) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+4}\,dx\); c) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx\).

4. Halla la primitiva \(F\) de \(f(x)=6x^2-4x+1\) que cumple \(F(1)=5\).

Integral definida y áreas

5. Calcula con la regla de Barrow: a) \(\displaystyle\int_0^3(2x+1)\,dx\); b) \(\displaystyle\int_1^e\frac{1}{x}\,dx\); c) \(\displaystyle\int_0^1e^x\,dx\).

6. Calcula: a) \(\displaystyle\int_0^1e^{2x}\,dx\); b) \(\displaystyle\int_1^4\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx\).

7. Calcula el área de la región limitada por \(y=4-x^2\) y el eje \(X\).

8. Calcula la integral y el área entre la gráfica de \(f(x)=x^2-2x\) y el eje \(X\) en el intervalo \([0,3]\). Explica por qué no coinciden.

9. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de \(y=x^2\) e \(y=2x\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El coste marginal de producir \(x\) unidades es \(C'(x)=0{,}06x+4\) euros por unidad, y el coste fijo es de 500 €.

  1. (0,75 puntos) Halla la función de coste \(C(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula el coste de producir 100 unidades.

  3. (0,75 puntos) Calcula con una integral el coste de pasar de 100 a 200 unidades.

  4. (0,75 puntos) Interpreta ese resultado como un área y comprueba que coincide con \(C(200)-C(100)\).

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una asociación gana socios a un ritmo de \(s(t)=200\,e^{-t/5}\) socios por mes, con \(t\) en meses desde su fundación.

  1. (0,75 puntos) Halla una primitiva de \(s(t)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula cuántos socios se unen en los primeros 10 meses.

  3. (0,75 puntos) Calcula cuántos se unen entre los meses 5 y 10.

  4. (0,75 puntos) Interpreta por qué el segundo resultado es menor que la mitad del primero.

12. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Calcula:

  1. (1 punto) \(\displaystyle\int_0^1x\,e^{x^2}\,dx\).

  2. (1 punto) \(\displaystyle\int_0^2\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx\).

  3. (1 punto) \(\displaystyle\int_0^3\dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}\,dx\).

Opción B. Sean \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x+2\).

  1. (1 punto) Halla los puntos de corte de las gráficas.

  2. (1 punto) Indica cuál de las dos está por encima entre esos puntos.

  3. (1 punto) Calcula el área de la región que encierran.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La demanda de un producto es \(p=60-\dfrac{q}{5}\) euros cuando se venden \(q\) unidades, y el precio de mercado es de 24 €.

  1. (0,75 puntos) Halla las unidades que se venden al precio de mercado.

  2. (0,75 puntos) Plantea la integral que da el excedente del consumidor (área entre la curva de demanda y el precio de mercado).

  3. (0,75 puntos) Calcula el excedente del consumidor.

  4. (0,75 puntos) Comprueba el resultado como el área de un triángulo e interpreta su significado.

14. (Tipo PAU · 3 puntos) El ingreso marginal de una empresa al vender \(x\) unidades es \(I'(x)=120-6x\), y sin ventas no hay ingresos.

  1. (0,75 puntos) Halla la función de ingreso \(I(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(I(10)\).

  3. (0,75 puntos) Halla las unidades que dan el ingreso máximo y ese ingreso.

  4. (0,75 puntos) Calcula con una integral cuánto aumenta el ingreso al pasar de 10 a 15 unidades.

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El beneficio mensual de una tienda, en miles de euros, es \(b(t)=t^2-6t+5\) en los primeros 6 meses del año, con \(t\) en meses.

  1. (0,75 puntos) Halla los meses en los que \(b(t)=0\) y estudia el signo de \(b\).

  2. (0,75 puntos) Calcula las integrales de \(b\) en \([0,1]\), \([1,5]\) y \([5,6]\).

  3. (0,75 puntos) Calcula el beneficio neto acumulado en los 6 meses, \(\displaystyle\int_0^6b(t)\,dt\).

  4. (0,75 puntos) Calcula por separado el total ganado y el total perdido e interpreta el resultado.

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(f(x)=4x\) y \(g(x)=x^3\).

  1. (0,75 puntos) Halla los puntos de corte de las gráficas.

  2. (0,75 puntos) Indica cuál está por encima en cada tramo entre los cortes.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\int_0^2(4x-x^3)\,dx\).

  4. (0,75 puntos) Calcula el área total encerrada, usando la simetría de las gráficas.

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La oferta de un producto es \(p=8+\dfrac{q}{10}\) euros cuando se ofrecen \(q\) unidades, y el precio de mercado es de 20 €. El excedente del productor es el área entre el precio de mercado y la curva de oferta.

  1. (0,75 puntos) Halla las unidades que se ofrecen al precio de mercado.

  2. (0,75 puntos) Plantea la integral que da el excedente del productor.

  3. (0,75 puntos) Calcula el excedente del productor.

  4. (0,75 puntos) Interpreta el resultado: ¿qué representa para los productores?

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Calcula las primitivas siguientes y comprueba cada resultado derivando:

  1. (0,75 puntos) \(\displaystyle\int(2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx\).

  2. (0,75 puntos) \(\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x^3+1}\,dx\).

  3. (0,75 puntos) \(\displaystyle\int\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\).

  4. (0,75 puntos) \(\displaystyle\int2^x\,dx\).

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La velocidad de un ciclista, en m/s, es \(v(t)=0{,}3t+2\) con \(t\) en segundos, para \(0\le t\le60\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(v(0)\) y \(v(60)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula la distancia recorrida en los 60 segundos, \(\displaystyle\int_0^{60}v(t)\,dt\).

  3. (0,75 puntos) Calcula la distancia recorrida entre los segundos 20 y 40.

  4. (0,75 puntos) Calcula la velocidad media en los 60 s e interpreta su relación con \(v(0)\) y \(v(60)\).

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=3x^2+ax\), con \(a\) un número real.

  1. (0,75 puntos) Halla la primitiva de \(f\) que se anula en \(x=0\).

  2. (0,75 puntos) Plantea la condición \(\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=14\).

  3. (0,75 puntos) Halla \(a\).

  4. (0,75 puntos) Con ese valor, ¿cuánto vale el área bajo la gráfica de \(f\) entre \(x=0\) y \(x=2\)? Justifica que \(f\ge0\) en ese intervalo.

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Dos proyectos tienen un coste mensual, en miles de euros, de \(A(t)=10+2t\) y \(B(t)=4t\), con \(t\) en meses.

  1. (0,75 puntos) Halla el mes en el que los dos costes mensuales coinciden.

  2. (0,75 puntos) Indica cuál es más caro antes de ese mes.

  3. (0,75 puntos) Calcula el área entre ambas gráficas desde \(t=0\) hasta ese mes.

  4. (0,75 puntos) Interpreta el resultado en términos de costes acumulados.

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^3-4x\) en el intervalo \([-2,3]\).

  1. (0,75 puntos) Halla los puntos de corte de \(f\) con el eje \(X\).

  2. (0,75 puntos) Estudia el signo de \(f\) en cada tramo.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\int_{-2}^{3}f(x)\,dx\).

  4. (0,75 puntos) Calcula el área entre la gráfica de \(f\) y el eje \(X\) en \([-2,3]\).

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El ritmo al que crece el valor de una inversión, en euros por año, es \(r(t)=\dfrac{100}{t+1}\), con \(t\) en años desde que se abre.

  1. (0,75 puntos) Halla una primitiva de \(r(t)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula cuánto crece la inversión en los 3 primeros años.

  3. (0,75 puntos) Calcula cuánto crece entre los años 3 y 7.

  4. (0,75 puntos) Interpreta por qué, en un período más largo, crece menos.

24. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\begin{cases}2x&0\le x\le2\\4&x>2\end{cases}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\int_2^5f(x)\,dx\).

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\int_0^5f(x)\,dx\) y justifica el procedimiento.

  4. (0,75 puntos) Comprueba el resultado como área de un triángulo y un rectángulo.

25. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sean \(f(x)=e^x\) y \(g(x)=e\), en el intervalo \([0,1]\).

  1. (1 punto) Indica cuál de las dos gráficas está por encima.

  2. (1 punto) Plantea la integral que da el área entre ambas.

  3. (1 punto) Calcula el área.

Opción B. Sea \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

  1. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\int f(x)\,dx\).

  2. (1 punto) Halla la primitiva \(F\) que cumple \(F(0)=3\).

  3. (1 punto) Calcula \(F(1)\).

Soluciones

  1. \(\displaystyle\int(4x^3-6x+5)\,dx=x^4-3x^2+5x+C\).

  2. \(\displaystyle\int\left(\frac{1}{x}+3e^x\right)dx=\ln|x|+3e^x+C\).

  3. \(\displaystyle\int\left(x^2+x^{-2}\right)dx=\dfrac{x^3}{3}-\frac{1}{x}+C\).

  1. Con \(u=3x-1\) y \(u'=3\): \(\displaystyle\int(3x-1)^4\,dx=\frac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x-1)^5}{5}+C=\dfrac{(3x-1)^5}{15}+C\).

  2. \(\displaystyle\int e^{2x+1}\,dx=\dfrac{e^{2x+1}}{2}+C\).

  3. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{5x-2}\,dx=\frac{1}{5}\ln|5x-2|+C\).

  1. Con \(u=x^2+1\) y \(u'=2x\) (falta el factor 2): \(\displaystyle\int x(x^2+1)^3\,dx=\frac{1}{2}\cdot\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C=\dfrac{(x^2+1)^4}{8}+C\).

  2. \(\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C\).

  3. \(\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx=\sqrt{x^2+9}+C\), porque \(u'=2x\) y \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u\).

\(\displaystyle\int(6x^2-4x+1)\,dx=2x^3-2x^2+x+C\). Con \(F(1)=2-2+1+C=1+C=5\) resulta \(C=4\), luego \(F(x)=2x^3-2x^2+x+4\).

  1. \(\displaystyle\int_0^3(2x+1)\,dx=[x^2+x]_0^3=12-0=12\).

  2. \(\displaystyle\int_1^e\frac{1}{x}\,dx=[\ln x]_1^e=1-0=1\).

  3. \(\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=[e^x]_0^1=e-1\).

  1. \(\displaystyle\int_0^1e^{2x}\,dx=\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}\).

  2. \(\displaystyle\int_1^4x^{-1/2}\,dx=[2\sqrt{x}]_1^4=4-2=2\).

Los cortes con el eje \(X\) son \(x=\pm2\), y \(y\ge0\) en \([-2,2]\). Área \(=\displaystyle\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\dfrac{16}{3}-\left(-\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{32}{3}\).

\(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2\). \(f(x)=x(x-2)\) se anula en \(x=0\) y \(x=2\), con \(f<0\) en \((0,2)\) y \(f>0\) en \((2,3)\). Integral: \(\displaystyle\int_0^3f=F(3)-F(0)=0\). Por tramos: \(\displaystyle\int_0^2f=F(2)-F(0)=-\frac{4}{3}\) y \(\displaystyle\int_2^3f=F(3)-F(2)=\frac{4}{3}\). El área es \(\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\). No coinciden porque la parte bajo el eje cuenta con signo negativo en la integral y se compensa con la parte de arriba.

Parábola que corta al eje horizontal en cero y en dos. La zona bajo el eje, entre cero y dos, está en verde y la zona sobre el eje, entre dos y tres, en amarillo. Las dos tienen la misma superficie, con signos opuestos.

Gráfica de f(x) = x² − 2x en el intervalo de 0 a 3, ejercicio 8.

Cortes: \(x^2=2x\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0\) y \(x=2\). En \((0,2)\), \(2x\ge x^2\) (en \(x=1\): \(2>1\)). Área \(=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\).

La parábola y la recta se cortan en el origen y en un segundo punto. Entre ellos la recta queda por encima de la parábola y la región que encierran está rellena en amarillo.

Región limitada por y = x² e y = 2x, ejercicio 9.

  1. \(C(x)=\displaystyle\int(0{,}06x+4)\,dx=0{,}03x^2+4x+K\). Con \(C(0)=500\), \(K=500\): \(C(x)=0{,}03x^2+4x+500\).

  2. \(C(100)=300+400+500=1200\) €.

  3. \(\displaystyle\int_{100}^{200}(0{,}06x+4)\,dx=[0{,}03x^2+4x]_{100}^{200}=(1200+800)-(300+400)=1300\) €.

  4. Es el área bajo la gráfica del coste marginal entre 100 y 200 unidades. Coincide con \(C(200)-C(100)=2500-1200=1300\) €.

  1. \(\displaystyle\int200\,e^{-t/5}\,dt=-1000\,e^{-t/5}+C\).

  2. \(\displaystyle\int_0^{10}200\,e^{-t/5}\,dt=[-1000\,e^{-t/5}]_0^{10}=1000\,(1-e^{-2})\approx864{,}66\), unos 865 socios.

  3. \(\displaystyle\int_5^{10}200\,e^{-t/5}\,dt=1000\,(e^{-1}-e^{-2})\approx232{,}54\), unos 233 socios.

  4. El ritmo de altas decrece con el tiempo: en los primeros 5 meses se unen \(864{,}66-232{,}54=632{,}12\) socios y en los 5 siguientes solo \(232{,}54\), menos de la mitad de los 864,66 totales.

Opción A.

  1. Con \(u=x^2\) y \(u'=2x\): \(\displaystyle\int_0^1x\,e^{x^2}\,dx=\left[\dfrac{e^{x^2}}{2}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{2}\).

  2. \(\displaystyle\int_0^2\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=[\ln(x^2+1)]_0^2=\ln5-\ln1=\ln5\).

  3. \(\displaystyle\int_0^3\dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}\,dx=[\sqrt{x^2+16}]_0^3=5-4=1\).

Opción B.

  1. \(x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1\) y \(x=2\).

  2. En \(x=0\): \(g(0)=2>f(0)=0\). Entre \(-1\) y \(2\), la recta \(g\) está por encima de la parábola \(f\).

  3. Área \(=\displaystyle\int_{-1}^2(x+2-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^2=\dfrac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}\).

La recta queda por encima de la parábola entre sus dos puntos de corte, marcados con sus coordenadas. La región que encierran está rellena en amarillo.

Región entre f(x) = x² y g(x) = x + 2, ejercicio 12, opción B.

  1. \(60-\frac{q}{5}=24\Rightarrow\frac{q}{5}=36\Rightarrow q=180\) unidades.

  2. Excedente \(=\displaystyle\int_0^{180}\left(60-\frac{q}{5}-24\right)dq=\int_0^{180}\left(36-\frac{q}{5}\right)dq\).

  3. \(\displaystyle\int_0^{180}\left(36-\frac{q}{5}\right)dq=\left[36q-\dfrac{q^2}{10}\right]_0^{180}=6480-3240=3240\) €.

  4. Es un triángulo de base \(180\) y altura \(60-24=36\): \(\frac{1}{2}\cdot180\cdot36=3240\). Es el ahorro total de los compradores que habrían pagado más de 24 € por el producto.

  1. \(I(x)=\displaystyle\int(120-6x)\,dx=120x-3x^2+K\), y \(I(0)=0\) da \(K=0\): \(I(x)=120x-3x^2\).

  2. \(I(10)=1200-300=900\) €.

  3. \(I'(x)=120-6x=0\Rightarrow x=20\), con \(I''=-6<0\) (máximo). \(I(20)=2400-1200=1200\) €.

  4. \(\displaystyle\int_{10}^{15}(120-6x)\,dx=[120x-3x^2]_{10}^{15}=(1800-675)-(1200-300)=225\) €.

  1. \(t^2-6t+5=(t-1)(t-5)=0\Rightarrow t=1\) y \(t=5\). \(b>0\) en \((0,1)\), \(b<0\) en \((1,5)\) y \(b>0\) en \((5,6)\).

  2. Con \(F(t)=\dfrac{t^3}{3}-3t^2+5t\): \(\displaystyle\int_0^1b=F(1)-F(0)=\frac{7}{3}\), \(\displaystyle\int_1^5b=F(5)-F(1)=-\dfrac{32}{3}\) y \(\displaystyle\int_5^6b=F(6)-F(5)=\frac{7}{3}\).

  3. \(\displaystyle\int_0^6b(t)\,dt=F(6)-F(0)=72-108+30=-6\) mil euros.

  4. Se ganan \(\frac{7}{3}+\frac{7}{3}=\dfrac{14}{3}\) mil euros (meses 0–1 y 5–6) y se pierden \(\dfrac{32}{3}\) mil euros (meses 1–5). El neto es \(\dfrac{14}{3}-\dfrac{32}{3}=-6\): en el semestre la tienda pierde 6000 €.

  1. \(4x=x^3\Rightarrow x(x^2-4)=0\Rightarrow x=-2,\ 0,\ 2\).

  2. En \((0,2)\) está por encima \(f(x)=4x\) (en \(x=1\): \(4>1\)). En \((-2,0)\) está por encima \(g(x)=x^3\) (en \(x=-1\): \(-1>-4\)).

  3. \(\displaystyle\int_0^2(4x-x^3)\,dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2=8-4=4\).

  4. Las gráficas son simétricas respecto del origen, así que los dos recintos tienen el mismo área: \(2\cdot4=8\).

La recta y la cúbica se cortan en tres puntos. A la derecha del origen la recta está por encima y a la izquierda por debajo. Los dos recintos, uno amarillo y otro verde, son simétricos respecto del origen y tienen la misma área.

Recintos entre f(x) = 4x y g(x) = x³, ejercicio 16.

  1. \(8+\dfrac{q}{10}=20\Rightarrow q=120\) unidades.

  2. Excedente \(=\displaystyle\int_0^{120}\left(20-8-\dfrac{q}{10}\right)dq=\int_0^{120}\left(12-\dfrac{q}{10}\right)dq\).

  3. \(\displaystyle\int_0^{120}\left(12-\dfrac{q}{10}\right)dq=\left[12q-\dfrac{q^2}{20}\right]_0^{120}=1440-720=720\) €.

  4. Es lo que ganan de más los productores que habrían vendido por menos de 20 €: es la diferencia entre el precio que reciben y el mínimo al que estaban dispuestos a vender.

  1. \(u=x^2+x\), \(u'=2x+1\): \(\displaystyle\int(2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx=e^{x^2+x}+C\).

  2. \(u=x^3+1\), \(u'=3x^2\) (falta el factor 3): \(\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x^3+1}\,dx=\frac{1}{3}\ln|x^3+1|+C\).

  3. \(u=x^2+1\), \(u'=2x\): \(\displaystyle\int\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=2\sqrt{x^2+1}+C\).

  4. \(\displaystyle\int2^x\,dx=\dfrac{2^x}{\ln2}+C\).

  1. \(v(0)=2\) m/s y \(v(60)=0{,}3\cdot60+2=20\) m/s.

  2. \(\displaystyle\int_0^{60}(0{,}3t+2)\,dt=[0{,}15t^2+2t]_0^{60}=540+120=660\) m.

  3. \(\displaystyle\int_{20}^{40}(0{,}3t+2)\,dt=(240+80)-(60+40)=220\) m.

  4. La velocidad media es \(\dfrac{660}{60}=11\) m/s. Como \(v\) es lineal, coincide con el promedio de \(v(0)=2\) y \(v(60)=20\).

  1. \(\displaystyle\int(3x^2+ax)\,dx=x^3+\dfrac{a}{2}x^2\) (la constante vale \(0\) porque se anula en \(x=0\)).

  2. \(\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=\left[x^3+\frac{a}{2}x^2\right]_0^2=8+2a=14\).

  3. \(2a=6\), luego \(a=3\).

  4. Con \(a=3\), \(f(x)=3x^2+3x=3x(x+1)\ge0\) para \(x\ge0\), así que el área es la propia integral: \(14\) unidades cuadradas.

  1. \(10+2t=4t\Rightarrow t=5\) meses.

  2. Antes del mes 5, \(A(t)>B(t)\) (en \(t=0\): \(10>0\)): el proyecto A es más caro.

  3. Área \(=\displaystyle\int_0^5(10+2t-4t)\,dt=\int_0^5(10-2t)\,dt=[10t-t^2]_0^5=25\).

  4. Durante los 5 primeros meses el proyecto A acumula 25 mil euros más de costes que el B. Después del mes 5, B pasa a ser el más caro cada mes.

Dos rectas que se cortan en el mes cinco. Antes de ese mes la de A está por encima de la de B y la región entre ambas, desde el mes cero, está rellena en amarillo.

Costes mensuales A(t) y B(t) de los dos proyectos, ejercicio 21.

  1. \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=-2,\ 0,\ 2\).

  2. En \((-2,0)\), \(f>0\) (en \(x=-1\): \(3\)); en \((0,2)\), \(f<0\) (en \(x=1\): \(-3\)); en \((2,3)\), \(f>0\) (en \(x=3\): \(15\)).

  3. Con \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2\): \(\displaystyle\int_{-2}^3f=F(3)-F(-2)=\frac{9}{4}-(-4)=\dfrac{25}{4}\).

  4. Por tramos: \(\displaystyle\int_{-2}^0f=4\), \(\displaystyle\int_0^2f=-4\) y \(\displaystyle\int_2^3f=\dfrac{25}{4}\). El área es \(4+4+\dfrac{25}{4}=\dfrac{57}{4}\).

Cúbica que corta al eje horizontal en tres puntos. Hay tres recintos entre la gráfica y el eje: dos en amarillo sobre el eje, a izquierda y a derecha, y uno en verde bajo el eje, en el centro.

Gráfica de f(x) = x³ − 4x en el intervalo de −2 a 3, ejercicio 22.

  1. \(\displaystyle\int\dfrac{100}{t+1}\,dt=100\ln|t+1|+C\).

  2. \(\displaystyle\int_0^3\dfrac{100}{t+1}\,dt=[100\ln(t+1)]_0^3=100\ln4\approx138{,}63\) €.

  3. \(\displaystyle\int_3^7\dfrac{100}{t+1}\,dt=100\ln8-100\ln4=100\ln2\approx69{,}31\) €.

  4. El ritmo \(r(t)\) decrece con el tiempo: en los 3 primeros años la inversión crece 138,63 €, y en los 4 años siguientes (entre el 3 y el 7), aunque dura más, crece solo 69,31 €, la mitad.

  1. \(\displaystyle\int_0^22x\,dx=[x^2]_0^2=4\).

  2. \(\displaystyle\int_2^54\,dx=[4x]_2^5=20-8=12\).

  3. La integral es aditiva: \(\displaystyle\int_0^5f=\int_0^2f+\int_2^5f=4+12=16\), porque la función cambia de expresión en \(x=2\).

  4. El triángulo de base \(2\) y altura \(4\) tiene área \(\dfrac{2\cdot4}{2}=4\) y el rectángulo de base \(3\) y altura \(4\), \(12\): en total \(16\).

Opción A.

  1. En \([0,1]\), \(e^x\le e\), luego la recta \(g(x)=e\) está por encima.

  2. Área \(=\displaystyle\int_0^1(e-e^x)\,dx\).

  3. \(\displaystyle\int_0^1(e-e^x)\,dx=[ex-e^x]_0^1=(e-e)-(0-1)=1\).

La curva exponencial crece hasta tocar la recta horizontal en el extremo derecho del intervalo. La región entre ambas, por debajo de la recta, está rellena en amarillo. Opción B.

  1. Con \(u=x^2+1\) y \(u'=2x\): \(\displaystyle\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\).

  2. \(F(x)=\ln(x^2+1)+C\) y \(F(0)=\ln1+C=3\), luego \(C=3\) y \(F(x)=\ln(x^2+1)+3\).

  3. \(F(1)=\ln2+3\approx3{,}69\).