Límites y continuidad — relación de ejercicios

Ejercicios de límites y continuidad de 2º Bachillerato Ciencias Sociales (Matemáticas Aplicadas II) en Andalucía, con soluciones paso a paso. Incluye ejercicios tipo PAU (Selectividad Andalucía).

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. En este tema no se usan derivadas.

Límites

1. Calcula, sustituyendo: a) \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+\ln(x+1))\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}\).

2. Calcula, factorizando y simplificando: a) \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+x}{x+1}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\).

3. Calcula, estudiando el signo cuando haga falta: a) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}\); b) los límites laterales de \(\dfrac{1}{x-1}\) en \(x=1\); c) los límites laterales de \(\dfrac{2x}{x+3}\) en \(x=-3\). Indica en cada caso si el límite existe.

4. Calcula, multiplicando por el conjugado: a) \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\).

5. Calcula: a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}\); d) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}\).

6. Calcula, comparando el crecimiento de las funciones: a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+\ln x}{x}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2e^x+3)\).

Continuidad y discontinuidades

7. Halla \(k\) para que \(f(x)=\begin{cases}2x+k&x<3\\x^2-4&x\ge3\end{cases}\) sea continua en \(x=3\).

8. Estudia la continuidad en el punto indicado y clasifica la discontinuidad: a) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\); b) \(g(x)=\dfrac{1}{x+2}\) en \(x=-2\); c) \(h(x)=\begin{cases}x+2&x<1\\5&x\ge1\end{cases}\) en \(x=1\).

Asíntotas

9. Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El porcentaje de hogares de un barrio que tienen fibra óptica, \(t\) meses después de empezar una campaña de instalación, es \(S(t)=\dfrac{100t}{t+5}\), con \(t\ge0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(S(5)\), \(S(45)\) y \(S(95)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) ¿Cuántos meses tienen que pasar para que el porcentaje sea del \(90\,\%\)?

  4. (0,75 puntos) Justifica que la cobertura nunca llegará al \(100\,\%\).

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa tiene un coste fijo de 900 € y un coste variable de 12 € por unidad, de modo que el coste medio por unidad al fabricar \(x\) unidades es \(C_m(x)=12+\dfrac{900}{x}\), con \(x>0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula el coste medio al fabricar 100 y 300 unidades.

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C_m(x)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que el coste medio sea de 14 €?

  4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}C_m(x)\) e interpreta el resultado.

12. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sea \(f(x)=\begin{cases}ax-2&x\le2\\x^2-a&x>2\end{cases}\).

  1. (1 punto) Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).

  2. (1 punto) Con ese valor de \(a\), calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

  3. (1 punto) Con ese valor de \(a\), calcula \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)-7}{x-3}\).

Opción B. Sea \(g(x)=\dfrac{2x^2-2}{x^2-4x+3}\).

  1. (1 punto) Halla el dominio de \(g\) y clasifica sus discontinuidades.

  2. (1 punto) Calcula los límites laterales de \(g\) en \(x=3\).

  3. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)\) y escribe las asíntotas de \(g\).

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un banco cobra por una transferencia de \(x\) euros la comisión \[C(x)=\begin{cases}a+0{,}02x&0<x\le300\\12+0{,}01x&x>300\end{cases}\]

  1. (0,75 puntos) Halla \(a\) para que la comisión no tenga saltos en \(x=300\).

  2. (0,75 puntos) Con ese valor de \(a\), calcula la comisión de una transferencia de 200 € y de otra de 1000 €.

  3. (0,75 puntos) Si fuera \(a=10\), calcula los límites laterales de \(C\) en \(x=300\) y clasifica la discontinuidad.

  4. (0,75 puntos) Interpreta el caso \(a=10\): ¿qué le ocurre al cliente que transfiere 300 € y al que transfiere un poco más?

14. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-4}\).

  1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

  2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(f\) en \(x=2\) y en \(x=-2\) y escribe las asíntotas verticales.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) y escribe la asíntota horizontal.

  4. (0,75 puntos) Comprueba si la gráfica corta a la asíntota horizontal.

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El coste por unidad, en euros, de un pedido de \(x\) unidades es \(C(x)=\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}\), con \(x\ge0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(C(3)\) y \(C(99)\).

  2. (0,75 puntos) Divide los polinomios y escribe \(C(x)\) como cociente más resto\(\big/\)divisor.

  3. (0,75 puntos) Calcula la asíntota oblicua de \(C\).

  4. (0,75 puntos) Interpreta en el contexto el resultado de c) usando \(C(99)\).

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\begin{cases}x+a&x<0\\x^2+1&0\le x\le2\\bx-1&x>2\end{cases}\).

  1. (0,75 puntos) Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\).

  2. (0,75 puntos) Halla \(b\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).

  3. (0,75 puntos) Con esos valores, calcula \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(3)\).

  4. (0,75 puntos) Con esos valores, calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La concentración en sangre de un medicamento, en mg/L, \(t\) horas después de administrarlo es \(c(t)=\dfrac{60t}{t^2+9}\), con \(t\ge0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(c(1)\), \(c(3)\) y \(c(9)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)\).

  3. (0,75 puntos) ¿En qué instantes la concentración es de 6 mg/L?

  4. (0,75 puntos) Escribe la asíntota horizontal e interpreta su significado.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Calcula:

  1. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\).

  2. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).

  3. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+1}{x^2+4}\).

  4. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x}\).

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una población de bacterias en un cultivo, en miles, es \(P(t)=\dfrac{5000}{1+4e^{-t/2}}\), con \(t\) en horas.

  1. (0,75 puntos) Calcula la población inicial.

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) ¿Cuándo llega la población a 4000 (miles)? Da el resultado exacto y aproximado.

  4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to-\infty}P(t)\) y escribe la asíntota correspondiente. ¿Tiene sentido en el contexto?

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(f(x)=\ln(x-2)\) y \(g(x)=3e^{-x}+1\).

  1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)\) y escribe la asíntota vertical de \(f\).

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) y escribe la asíntota horizontal de \(g\).

  4. (0,75 puntos) Explica por qué \(g\) no tiene asíntota oblicua en \(+\infty\).

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa de mensajería cobra, en euros, por un paquete de \(w\) kg: \[E(w)=\begin{cases}5&0<w\le1\\7&1<w\le3\\7+2(w-3)&w>3\end{cases}\]

  1. (0,75 puntos) Calcula \(E(0{,}5)\), \(E(1)\), \(E(2)\) y \(E(4)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(E\) en \(w=1\) y en \(w=3\).

  3. (0,75 puntos) Estudia la continuidad de \(E\) en \(w=1\) y en \(w=3\) y clasifica las discontinuidades.

  4. (0,75 puntos) Interpreta lo que ocurre en \(w=1\) para un cliente que quiere enviar un paquete de 1 kg o de 1,01 kg.

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}\).

  1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

  2. (0,75 puntos) Calcula los límites de \(f\) en \(x=2\) y los límites laterales en \(x=-2\) y clasifica las discontinuidades.

  3. (0,75 puntos) Escribe las asíntotas de \(f\).

  4. (0,75 puntos) ¿Qué valor hay que dar a \(f(2)\) para que la función resultante sea continua en \(x=2\)?

23. (Tipo PAU · 3 puntos) El rendimiento de un cultivo, en toneladas por hectárea, al aplicar \(x\) kg de abono es \(R(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}\) para \(x\ne4\) (con \(x=4\) no se hizo ninguna medida).

  1. (0,75 puntos) Simplifica \(R(x)\) y calcula \(R(10)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to4}R(x)\).

  3. (0,75 puntos) Clasifica la discontinuidad de \(R\) en \(x=4\) y di qué valor hay que asignar a \(R(4)\) para que \(R\) sea continua.

  4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}R(x)\) e interpreta si el modelo prevé una saturación.

24. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un mayorista vende un artículo con este precio por unidad, en euros, según las \(q\) unidades que se compran: \[P(q)=\begin{cases}10&0<q<20\\9&20\le q<50\\8&q\ge50\end{cases}\] (tratamos \(q\) como una variable real).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(P(19)\), \(P(20)\), \(P(49)\) y \(P(50)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(P\) en \(q=20\) y en \(q=50\).

  3. (0,75 puntos) Clasifica las discontinuidades de \(P\).

  4. (0,75 puntos) Calcula el coste de comprar 19 y de comprar 20 unidades e interpreta el resultado.

25. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sea \(f(x)=\dfrac{2e^x+1}{e^x+1}\).

  1. (1 punto) Halla el dominio de \(f\).

  2. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

  3. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) y escribe todas las asíntotas horizontales de \(f\).

Opción B. Sea \(g(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}\).

  1. (1 punto) Halla el dominio de \(g\) y calcula los límites laterales en \(x=1\).

  2. (1 punto) Divide los polinomios y escribe \(g(x)\) como cociente más resto\(\big/\)divisor.

  3. (1 punto) Calcula la asíntota oblicua de \(g\) con los límites que la definen.

Soluciones

  1. El polinomio es continuo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1\).

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+\ln(x+1))=e^0+\ln1=1+0=1\).

  3. \(x=4\) está en el dominio, luego \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}=\frac{\sqrt9}{3}=\frac{3}{3}=1\).

  1. Da \(\frac{0}{0}\). Se factoriza: \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6\).

  2. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+x}{x+1}=\lim_{x\to-1}\frac{x(x+1)}{x+1}=\lim_{x\to-1}x=-1\).

  3. Da \(\frac{0}{0}\). \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-3)=-1\).

  1. Da \(\frac{3}{0}\). Como \((x-2)^2>0\) a ambos lados, el cociente es positivo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}=+\infty\). El límite existe (es infinito).

  2. Por la izquierda, \(x-1<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty\). Por la derecha, \(x-1>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty\). Los laterales son distintos: no existe el límite.

  3. En \(x=-3\) el numerador vale \(-6\). Por la izquierda, \(x+3<0\), y \(\displaystyle\lim_{x\to-3^-}\frac{2x}{x+3}=+\infty\). Por la derecha, \(x+3>0\), y \(\displaystyle\lim_{x\to-3^+}\frac{2x}{x+3}=-\infty\). No existe el límite.

  1. Da \(\frac{0}{0}\). Se multiplica por el conjugado \(\sqrt x+2\): \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{4}\).

  2. Da \(\frac{0}{0}\). Con el conjugado \(\sqrt{x+9}+3\): \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{6}\).

  1. Los grados son iguales (2 y 2): el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}=3\).

  2. Grado del numerador \(1<2\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0\).

  3. Grado del numerador \(3>2\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}=+\infty\), porque para \(x\) grande el cociente es positivo.

  4. Es el mismo cociente con \(x\to-\infty\), pero \(x^3<0\) y \(2x^2>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}=-\infty\).

  1. La exponencial crece más rápido que cualquier potencia: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=0\).

  2. \(\dfrac{5x+\ln x}{x}=5+\dfrac{\ln x}{x}\) y \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+\ln x}{x}=5\).

  3. Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2e^x+3)=0+3=3\).

Hay que igualar los laterales en \(x=3\) y el valor de la función. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}(2x+k)=6+k\). Por la derecha y en el punto, \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}(x^2-4)=f(3)=5\). Entonces \(6+k=5\) y \(k=-1\).

  1. \(f(1)\) no existe (\(\frac{0}{0}\)). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\) (finito). Es una discontinuidad evitable: bastaría definir \(f(1)=2\).

  2. \(g(-2)\) no existe. \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\frac{1}{x+2}=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}\frac{1}{x+2}=+\infty\): discontinuidad de salto infinito.

  3. \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}(x+2)=3\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}5=5\): los laterales son finitos y distintos. Discontinuidad de salto finito (salto de \(5-3=2\)).

Vertical: el denominador se anula en \(x=2\) y el numerador vale \(7\ne0\); \(f\) tiende a \(-\infty\) por la izquierda y a \(+\infty\) por la derecha: \(x=2\).

Horizontal: los grados son iguales y \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x+1}{x-2}=3\): \(y=3\).

Dos ramas separadas por la asíntota vertical que se acercan por los extremos a la asíntota horizontal.

Gráfica de f(x) = (3x + 1)/(x − 2), ejercicio 9.

  1. \(S(5)=\dfrac{500}{10}=50\), \(S(45)=\dfrac{4500}{50}=90\) y \(S(95)=\dfrac{9500}{100}=95\). Es decir, el \(50\,\%\), el \(90\,\%\) y el \(95\,\%\) de los hogares.

  2. Los grados son iguales: \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)=\lim_{t\to+\infty}\frac{100t}{t+5}=100\). A largo plazo la cobertura se acerca al \(100\,\%\).

  3. \(\dfrac{100t}{t+5}=90\Rightarrow100t=90t+450\Rightarrow10t=450\), luego \(t=45\) meses.

  4. \(S(t)=100-\dfrac{500}{t+5}\), y \(\dfrac{500}{t+5}>0\) para todo \(t\ge0\), así que \(S(t)<100\). Si fuera \(S(t)=100\) se tendría \(100t=100t+500\), es decir, \(0=500\), imposible: la cobertura se acerca al \(100\,\%\) pero nunca lo alcanza.

Curva creciente que arranca en el origen y se acerca a la asíntota horizontal sin llegar a tocarla.

Cobertura de fibra del ejercicio 10.

  1. \(C_m(100)=12+\dfrac{900}{100}=21\) €/unidad y \(C_m(300)=12+\dfrac{900}{300}=15\) €/unidad.

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C_m(x)=12+0=12\). Al fabricar muchísimas unidades, el coste medio se acerca al coste variable por unidad, \(12\) €: el coste fijo de 900 € se reparte entre cada vez más unidades.

  3. \(12+\dfrac{900}{x}=14\Rightarrow\dfrac{900}{x}=2\Rightarrow x=450\) unidades.

  4. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}C_m(x)=+\infty\), porque \(\dfrac{900}{x}\to+\infty\). Al fabricar muy pocas unidades, el coste fijo recae sobre cada una y el coste medio se dispara; \(x=0\) es una asíntota vertical.

Curva decreciente que se dispara cerca del eje vertical, que es asíntota, y se acerca por arriba a la asíntota horizontal.

Coste medio del ejercicio 11.

Opción A.

  1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(ax-2)=2a-2\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x^2-a)=4-a\), y \(f(2)=2a-2\). Para que sea continua, \(2a-2=4-a\Rightarrow3a=6\Rightarrow a=2\).

  2. Con \(a=2\), \(f(x)=x^2-2\) para \(x>2\) y \(f(x)=2x-2\) para \(x\le2\). Entonces \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2-2)=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(2x-2)=-\infty\).

  3. Cerca de \(x=3\), \(f(x)=x^2-2\) y \(f(3)=7\), así que da \(\frac{0}{0}\): \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)-7}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6\).

Opción B.

  1. \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) se anula en \(x=1\) y \(x=3\): \(\operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}\). Además, \(g(x)=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}\) para \(x\ne1,3\). En \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=\frac{2\cdot2}{-2}=-2\), finito: discontinuidad evitable. En \(x=3\) el denominador simplificado se anula y el numerador vale \(8\): discontinuidad de salto infinito.

  2. En \(x=3\) el numerador \(2(x+1)\) vale \(8>0\). Por la izquierda, \(x-3<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}g(x)=-\infty\). Por la derecha, \(x-3>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}g(x)=+\infty\).

  3. Los grados son iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=2\). Asíntota vertical: \(x=3\) (el punto \(x=1\) es un hueco, no asíntota). Asíntota horizontal: \(y=2\) (por los dos lados).

  1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to300^-}(a+0{,}02x)=a+6\). Por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to300^+}(12+0{,}01x)=12+3=15\). Igualando, \(a+6=15\) y \(a=9\).

  2. Con \(a=9\): \(C(200)=9+0{,}02\cdot200=13\) € y \(C(1000)=12+0{,}01\cdot1000=22\) €.

  3. Con \(a=10\): \(\displaystyle\lim_{x\to300^-}C(x)=10+6=16\) y \(\displaystyle\lim_{x\to300^+}C(x)=15\). Los laterales son finitos y distintos: discontinuidad de salto finito, de tamaño \(15-16=-1\).

  4. Con \(a=10\), transferir 300 € cuesta 16 € de comisión, pero transferir 300,01 € cuesta aproximadamente 15 €: aumentar la cantidad transferida reduce la comisión en 1 €, lo que no tiene sentido para el cliente.

Dos tramos rectos que se unen en el punto amarillo: sin saltos, con una pendiente menor en el segundo tramo.

Comisión del ejercicio 13.

  1. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) se anula en \(x=\pm2\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).

  2. En \(x=2\) el numerador vale \(9>0\). Por la izquierda, \((x-2)(x+2)<0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\); por la derecha, es positivo y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\). En \(x=-2\) el numerador también vale \(9\). Por la izquierda, \((x-2)(x+2)>0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty\); por la derecha, es negativo y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\). Asíntotas verticales: \(x=2\) y \(x=-2\).

  3. Grados iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2\). Asíntota horizontal: \(y=2\).

  4. La corta si \(f(x)=2\): \(2x^2+1=2(x^2-4)\Rightarrow1=-8\), que es imposible. La gráfica no corta a la asíntota horizontal.

Tres ramas separadas por dos asíntotas verticales; las de los extremos se acercan por encima a la asíntota horizontal.

Gráfica de f(x) = (2x² + 1)/(x² − 4), ejercicio 14.

  1. \(C(3)=\dfrac{9+6+5}{4}=5\) € y \(C(99)=\dfrac{9801+198+5}{100}=100{,}04\) €.

  2. \(x^2+2x+5=(x+1)(x+1)+4\), luego \(C(x)=x+1+\dfrac{4}{x+1}\).

  3. \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{C(x)}{x}=1\) y \(n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(C(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x+1}\right)=1\). La asíntota oblicua es \(y=x+1\).

  4. \(C(99)=100{,}04\) es casi \(99+1=100\): para pedidos grandes, el coste por unidad se parece cada vez más a \(x+1\) euros, es decir, crece con el tamaño del pedido (un pedido de \(x\) unidades cuesta por unidad casi \(x+1\) €).

Curva que baja un poco y después sube pegada a la asíntota oblicua, una recta creciente; solo se dibuja para pedidos de cero unidades en adelante.

Coste por unidad del ejercicio 15.

  1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}(x+a)=a\); por la derecha y en el punto, \(f(0)=1\). Entonces \(a=1\).

  2. Por la izquierda de \(2\) y en el punto, \(f(2)=2^2+1=5\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(bx-1)=2b-1\). Entonces \(2b-1=5\) y \(b=3\).

  3. \(f(-1)=-1+1=0\), \(f(1)=1+1=2\) y \(f(3)=3\cdot3-1=8\).

  4. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(3x-1)=+\infty\).

  1. \(c(1)=\dfrac{60}{10}=6\), \(c(3)=\dfrac{180}{18}=10\) y \(c(9)=\dfrac{540}{90}=6\) mg/L.

  2. El grado del numerador, \(1\), es menor que el del denominador, \(2\): \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)=0\).

  3. \(\dfrac{60t}{t^2+9}=6\Rightarrow60t=6t^2+54\Rightarrow t^2-10t+9=0\Rightarrow t=1\) o \(t=9\) horas. La concentración vale 6 mg/L a la hora 1 (cuando está subiendo) y a la hora 9 (cuando ya baja).

  4. Como \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)=0\), la recta \(y=0\) es asíntota horizontal: con el tiempo, el medicamento se va eliminando y la concentración se acerca a \(0\) sin llegar a anularse exactamente.

Curva que sube hasta un máximo en rojo y luego baja acercándose al eje horizontal; la recta discontinua marca el nivel de seis miligramos por litro, que se alcanza dos veces.

Concentración del medicamento del ejercicio 17.

  1. Es \(\infty-\infty\) con raíces: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3}{2}\), porque numerador y denominador tienen grado 1 y los coeficientes de \(x\) son \(3\) y \(1+1=2\).

  2. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}\).

  3. Grados iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+1}{x^2+4}=2\).

  4. \(\dfrac{e^x+x}{e^x}=1+\dfrac{x}{e^x}\) y \(\dfrac{x}{e^x}\to0\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x}=1\).

  1. \(P(0)=\dfrac{5000}{1+4e^0}=\dfrac{5000}{5}=1000\) (mil bacterias).

  2. Como \(e^{-t/2}\to0\), \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)=\frac{5000}{1+0}=5000\). La población se acerca a 5000 (miles), que es la capacidad máxima del cultivo.

  3. \(\dfrac{5000}{1+4e^{-t/2}}=4000\Rightarrow1+4e^{-t/2}=\frac{5}{4}\Rightarrow e^{-t/2}=\dfrac1{16}\Rightarrow-\dfrac t2=-\ln16\), luego \(t=2\ln16=8\ln2\approx5{,}55\) horas.

  4. Cuando \(t\to-\infty\), \(e^{-t/2}\to+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{t\to-\infty}P(t)=0\): la recta \(y=0\) es asíntota horizontal por la izquierda. En el contexto no tiene sentido, porque el tiempo es \(t\ge0\).

Curva en forma de ese que arranca en la población inicial, sube cada vez más deprisa y después se frena, acercándose a la asíntota horizontal.

Población de bacterias del ejercicio 19.

  1. Hace falta \(x-2>0\): \(\operatorname{Dom}f=(2,+\infty)\).

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\ln(x-2)=-\infty\), porque \(x-2\to0^+\). Por tanto \(x=2\) es asíntota vertical.

  3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3e^{-x}+1)=0+1=1\): asíntota horizontal \(y=1\).

  4. Una asíntota oblicua por la derecha exige \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}\) finito y distinto de \(0\). Pero en \(+\infty\) la función ya tiene una asíntota horizontal (\(y=1\)), y no puede haber oblicua por un lado en el que ya hay horizontal: aquí \(\dfrac{g(x)}{x}\to0\), que no es una pendiente válida.

  1. \(E(0{,}5)=5\), \(E(1)=5\), \(E(2)=7\) y \(E(4)=7+2(4-3)=9\) euros.

  2. En \(w=1\): \(\displaystyle\lim_{w\to1^-}E(w)=5\) y \(\displaystyle\lim_{w\to1^+}E(w)=7\). En \(w=3\): \(\displaystyle\lim_{w\to3^-}E(w)=7\) y \(\displaystyle\lim_{w\to3^+}E(w)=7+2\cdot0=7\).

  3. En \(w=1\) los laterales son finitos y distintos: discontinuidad de salto finito (de \(5\) a \(7\), salto de \(2\)). En \(w=3\) los laterales valen \(7\) y además \(E(3)=7\): \(E\) es continua en \(w=3\).

  4. Un paquete de 1 kg cuesta 5 €, pero uno de 1,01 kg cuesta 7 €: por solo 10 g más, el cliente paga 2 € más. Conviene ajustar el paquete para no pasarse de 1 kg.

  1. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).

  2. Como \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\), para \(x\ne\pm2\) es \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}\). En \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=\frac{5}{4}\), finito: discontinuidad evitable. En \(x=-2\) el numerador simplificado vale \(1>0\): por la izquierda, \(x+2<0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty\): discontinuidad de salto infinito.

  3. Vertical: \(x=-2\) (en \(x=2\) no hay asíntota, solo un hueco). Horizontal: grados iguales, \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1\): \(y=1\).

  4. Hay que dar a \(f(2)\) el valor del límite: \(f(2)=\frac{5}{4}\).

Dos ramas separadas por la asíntota vertical; en la rama de la derecha hay un hueco, que es la discontinuidad evitable, marcado con un círculo vacío.

Gráfica de f(x) = (x² + x − 6)/(x² − 4), ejercicio 22.

  1. Como \(x^2-16=(x-4)(x+4)\), \(R(x)=x+4\) para \(x\ne4\), y \(R(10)=14\) toneladas por hectárea.

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to4}R(x)=\lim_{x\to4}(x+4)=8\).

  3. El límite es finito y \(R(4)\) no existe: discontinuidad evitable. Para que \(R\) sea continua hay que asignar \(R(4)=8\) (8 toneladas por hectárea con 4 kg de abono, valor coherente con el resto de la gráfica).

  4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}R(x)=\lim_{x\to+\infty}(x+4)=+\infty\). El modelo no se satura: predice un rendimiento que crece sin límite con el abono, lo cual no es realista y limita su validez a valores moderados de \(x\).

  1. \(P(19)=10\), \(P(20)=9\), \(P(49)=9\) y \(P(50)=8\) euros.

  2. En \(q=20\): \(\displaystyle\lim_{q\to20^-}P(q)=10\) y \(\displaystyle\lim_{q\to20^+}P(q)=9\). En \(q=50\): \(\displaystyle\lim_{q\to50^-}P(q)=9\) y \(\displaystyle\lim_{q\to50^+}P(q)=8\).

  3. En ambos puntos los laterales son finitos y distintos: discontinuidades de salto finito, ambas de tamaño \(-1\) (el precio baja 1 €).

  4. Comprar 19 unidades cuesta \(19\cdot10=190\) € y comprar 20 cuesta \(20\cdot9=180\) €. Comprar una unidad más sale 10 € más barato: conviene pedir 20 aunque se necesiten solo 19.

Opción A.

  1. \(e^x+1>0\) para todo \(x\), luego el denominador no se anula: \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\).

  2. Dividiendo numerador y denominador entre \(e^x\): \(f(x)=\dfrac{2+e^{-x}}{1+e^{-x}}\), y \(e^{-x}\to0\). Entonces \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{2+0}{1+0}=2\).

  3. Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{2\cdot0+1}{0+1}=1\). Hay dos asíntotas horizontales: \(y=2\) (en \(+\infty\)) e \(y=1\) (en \(-\infty\)).

Opción B.

  1. \(\operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). En \(x=1\) el numerador vale \(2-1+3=4>0\). Por la izquierda, \(x-1<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}g(x)=-\infty\). Por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)=+\infty\).

  2. \(2x^2-x+3=(x-1)(2x+1)+4\), luego \(g(x)=2x+1+\dfrac{4}{x-1}\).

  3. \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^2-x}=2\) y \(n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(g(x)-2x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x-1}\right)=1\). La asíntota oblicua es \(y=2x+1\) (la misma en \(-\infty\)). Además, \(x=1\) es asíntota vertical.