Funciones — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. Los logaritmos se escriben \(\log\) (decimal) y \(\ln\) (neperiano).

Dominio, gráficas y propiedades

1. Halla el dominio de: a) \(f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-9}\); b) \(g(x)=\ln(2x-6)\); c) \(h(x)=\sqrt{8-2x}\).

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por \((1,3)\) y \((4,9)\), sus cortes con los ejes y el valor de \(f(10)\).

3. Para \(f(x)=x^2-6x+5\), calcula el vértice y los cortes con los ejes, e indica si el vértice es un máximo o un mínimo.

4. Para \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}\), calcula el dominio, los cortes con los ejes y una tabla de valores para \(x=-4,-3,-1,0,2\). Estudia además el signo de \(f\).

5. Sea \(f(x)=3\cdot2^x\). Calcula \(f(0)\) y \(f(3)\), resuelve \(f(x)=48\) e indica si \(f\) es creciente o decreciente.

Exponenciales, logaritmos y funciones a trozos

6. El valor de un coche, en euros, es \(V(t)=12000\cdot0{,}9^t\) con \(t\) en años. Calcula su valor tras 3 años y en cuántos años se reduce a la mitad.

7. Halla el dominio de \(f(x)=\log(x-2)\) y resuelve \(\log_2(x+1)=3\) y \(\ln x=2\).

8. Sea \(f(x)=\begin{cases}2x+1&x<1\\x^2+2&x\ge1\end{cases}\). Calcula \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(3)\) y estudia si la gráfica tiene un salto en \(x=1\).

9. Estudia si son pares, impares o ninguna de las dos cosas: \(f(x)=x^4-3x^2\), \(g(x)=x^3-x\) y \(h(x)=x^2+x\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un taller tiene unos costes de \(C(x)=1500+25x\) euros al fabricar \(x\) unidades y las vende a 45 € cada una, con ingreso \(I(x)=45x\).

  1. (0,75 puntos) Escribe la función beneficio \(B(x)\) e indica su pendiente y su ordenada en el origen.

  2. (0,75 puntos) Calcula el umbral de rentabilidad (el número de unidades a partir del cual hay beneficio).

  3. (0,75 puntos) Calcula el beneficio al fabricar 100 unidades.

  4. (0,75 puntos) Si el precio sube a 50 € por unidad, ¿cuál es el nuevo umbral? Interpreta el resultado.

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La demanda de un producto es \(q=150-5p\) (en miles de unidades) cuando el precio es \(p\) euros.

  1. (0,75 puntos) Escribe el ingreso \(I(p)=p\cdot q\) como función de \(p\).

  2. (0,75 puntos) Calcula los cortes de \(I\) con el eje \(X\) e interpreta su significado.

  3. (0,75 puntos) Halla el precio que da el mayor ingreso, ese ingreso y las unidades que se venden.

  4. (0,75 puntos) Indica para qué valores de \(p\) tiene sentido la función y calcula el ingreso si el precio es 20 €.

12. (Tipo PAU · 3 puntos) La factura de electricidad, en euros, según los kWh consumidos \(x\) es \[f(x)=\begin{cases}5+0{,}12x&0\le x\le200\\29+0{,}2\,(x-200)&x>200\end{cases}\]

  1. (0,75 puntos) Calcula la factura con 150 kWh y con 300 kWh.

  2. (0,75 puntos) Comprueba que la función no tiene saltos en \(x=200\).

  3. (0,75 puntos) ¿Cuántos kWh se han consumido si la factura es de 59 €?

  4. (0,75 puntos) Indica la pendiente de cada tramo e interpreta su significado.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa tiene un coste total \(C(x)=800+16x\) euros al producir \(x\) unidades, con \(x>0\). El coste medio por unidad es \(C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}\).

  1. (0,75 puntos) Escribe \(C_m(x)=16+\dfrac{800}{x}\) y calcula el coste medio al producir 40 unidades.

  2. (0,75 puntos) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste medio sea de 20 €?

  3. (0,75 puntos) Calcula \(C_m(100)\), \(C_m(1000)\) y \(C_m(10000)\). ¿Hacia qué valor parece acercarse el coste medio al aumentar la producción? Interpreta su significado. (Este comportamiento se formaliza en el tema 05 con límites y asíntotas.)

  4. (0,75 puntos) Justifica que el coste medio nunca puede llegar a ser menor o igual que 16 €.

14. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Los usuarios de una aplicación, \(t\) meses después de su lanzamiento, son \(U(t)=2000\cdot1{,}25^t\).

  1. (0,75 puntos) ¿Cuántos usuarios había al lanzarla? ¿Cuántos hay a los 4 meses?

  2. (0,75 puntos) ¿Qué porcentaje mensual de crecimiento indica el modelo?

  3. (0,75 puntos) ¿Cuándo se llegará a los 10 000 usuarios?

  4. (0,75 puntos) ¿Cada cuánto tiempo se duplican los usuarios?

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una máquina de 24 000 € pierde cada año el \(15\,\%\) de su valor. Su valor tras \(t\) años es \(V(t)=24000\cdot0{,}85^t\).

  1. (0,75 puntos) Calcula su valor a los 3 años y a los 5 años.

  2. (0,75 puntos) ¿Cuánto ha perdido de valor en los 3 primeros años?

  3. (0,75 puntos) ¿En cuántos años valdrá la mitad?

  4. (0,75 puntos) Explica por qué su valor nunca llega a ser cero.

16. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El nivel de ruido en decibelios es \(L(I)=10\cdot\log\dfrac{I}{10^{-12}}\), donde \(I\) es la intensidad del sonido en \(\mathrm{W/m^2}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula el nivel de ruido de un sonido de intensidad \(10^{-5}\) y de otro de intensidad \(10^{-3}\).

  2. (0,75 puntos) Si se duplica la intensidad, ¿cuánto aumenta el nivel de ruido?

  3. (0,75 puntos) Comprueba que ese aumento no depende de la intensidad inicial.

  4. (0,75 puntos) ¿Por qué se utiliza una escala logarítmica para medir el ruido?

17. (Tipo PAU · 3 puntos) Resuelve las ecuaciones:

  1. (0,75 puntos) \(2^{x+1}=32\).

  2. (0,75 puntos) \(3^{2x}-4\cdot3^x+3=0\) (con el cambio \(t=3^x\)).

  3. (0,75 puntos) \(\ln x+\ln(x-2)=\ln 3\).

  4. (0,75 puntos) \(\log_2 x+\log_2(x-2)=3\).

18. (Tipo PAU · 3 puntos) La gráfica de \(f(x)=ax^2+bx+c\) pasa por los puntos \((0,3)\), \((1,2)\) y \((3,6)\).

  1. (1 punto) Plantea el sistema de ecuaciones que cumplen \(a\), \(b\) y \(c\).

  2. (1 punto) Resuélvelo y escribe \(f(x)\).

  3. (1 punto) Calcula el vértice de la parábola y sus cortes con el eje \(X\) si existen.

19. (Tipo PAU · 3 puntos) El impuesto \(T(x)\) que paga un contribuyente con ingresos \(x\) euros es \(T(x)=0{,}10\,x\) si \(0\le x\le12000\) y \(T(x)=a+0{,}2\,(x-12000)\) si \(x>12000\).

  1. (1 punto) Halla \(a\) para que \(T\) no tenga saltos en \(x=12000\).

  2. (0,75 puntos) Con ese valor de \(a\), calcula el impuesto de quien ingresa 20 000 €.

  3. (0,75 puntos) Calcula el porcentaje del impuesto sobre los ingresos para ese contribuyente.

  4. (0,5 puntos) Explica el significado de 0,10 y 0,2.

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-1}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula su dominio y los cortes con los ejes.

  2. (0,75 puntos) Estudia el signo de \(f\).

  3. (0,75 puntos) Calcula \(f(-3)\), \(f\!\left(\tfrac12\right)\) y \(f(3)\).

  4. (0,75 puntos) Calcula \(f(0{,}9)\) y \(f(1{,}1)\) y explica por qué la gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. (El estudio de este comportamiento, con asíntotas, se retoma en el tema 05.)

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una compañía ofrece dos tarifas móviles: la A cuesta 10 € fijos más 0,05 € por minuto y la B cuesta 0,12 € por minuto, sin cuota.

  1. (0,75 puntos) Escribe el coste de cada tarifa en función de los minutos \(m\).

  2. (0,75 puntos) ¿Para cuántos minutos cuestan lo mismo?

  3. (0,75 puntos) ¿Qué tarifa conviene a una persona que habla 100 minutos al mes? ¿Y a una que habla 200?

  4. (0,75 puntos) Interpreta el resultado: ¿qué tarifa conviene según el consumo?

22. (Tipo PAU · 3 puntos) El rendimiento de un alumno tras \(t\) horas de estudio sigue \(f(t)=30+10\ln t\) con \(t\ge1\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(f(1)\), \(f(\mathrm{e})\) y \(f(\mathrm{e}^2)\).

  2. (0,75 puntos) ¿Cuántas horas hacen falta para llegar a un rendimiento de 60?

  3. (0,75 puntos) Justifica que \(f\) es creciente.

  4. (0,75 puntos) Cada vez que el tiempo se multiplica por \(\mathrm{e}\), ¿cuánto sube el rendimiento?

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Se depositan 1000 € al \(4\,\%\) anual.

  1. (0,75 puntos) Calcula el capital tras 10 años con interés simple y con interés compuesto.

  2. (0,75 puntos) Escribe la función del capital con interés compuesto en función de \(t\).

  3. (0,75 puntos) ¿Cuántos años tarda en triplicarse con interés compuesto?

  4. (0,75 puntos) Compara los dos tipos de interés e interpreta la diferencia.

24. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=|x-2|+1\).

  1. (0,75 puntos) Escríbela como función a trozos.

  2. (0,75 puntos) Calcula su valor mínimo y dónde se alcanza.

  3. (0,75 puntos) Resuelve \(f(x)=4\).

  4. (0,75 puntos) Dibuja o describe su gráfica.

25. (Tipo PAU · 3 puntos) En una empresa, el ingreso por vender \(x\) miles de unidades es \(I(x)=-x^2+12x\) y el coste es \(C(x)=2x+16\) (ambos en miles de euros).

  1. (0,75 puntos) Escribe la función beneficio \(B(x)=I(x)-C(x)\).

  2. (0,75 puntos) ¿Entre qué cantidades hay beneficio positivo?

  3. (0,75 puntos) Calcula la cantidad que da el mayor beneficio y su valor.

  4. (0,75 puntos) Comprueba que en los extremos del apartado b) los ingresos igualan a los costes.

Soluciones

  1. El denominador \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) se anula en \(x=\pm3\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}\).

  2. Hace falta \(2x-6>0\), es decir, \(x>3\): \(\operatorname{Dom}g=(3,+\infty)\).

  3. Hace falta \(8-2x\ge0\), es decir, \(x\le4\): \(\operatorname{Dom}h=(-\infty,4]\).

La pendiente es \(m=\dfrac{9-3}{4-1}=2\). Con el punto \((1,3)\): \(y-3=2(x-1)\), es decir, \(y=2x+1\).

Cortes: con el eje \(Y\), \(x=0\) da \(y=1\), el punto \((0,1)\); con el eje \(X\), \(2x+1=0\) da \(x=-\frac12\), el punto \((-\frac{1}{2},0)\). Además, \(f(10)=2\cdot10+1=21\).

El vértice está en \(x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3\), con \(f(3)=9-18+5=-4\): vértice \((3,-4)\).

Cortes con el eje \(X\): \(x^2-6x+5=0\) da \(x=1\) y \(x=5\), es decir, \((1,0)\) y \((5,0)\). Con el eje \(Y\): \(f(0)=5\), el punto \((0,5)\).

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Dominio: \(x+2\neq0\), es decir, \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). Cortes: con el eje \(Y\), \(f(0)=-\frac{1}{2}\), el punto \((0,-\frac{1}{2})\); con el eje \(X\), \(2x-1=0\) da \(x=\frac12\), el punto \((\frac{1}{2},0)\).

Tabla: \(f(-4)=\frac{-9}{-2}=\frac{9}{2}\), \(f(-3)=\frac{-7}{-1}=7\), \(f(-1)=\frac{-3}{1}=-3\), \(f(0)=-\frac{1}{2}\) y \(f(2)=\frac{3}{4}\).

Signo: el numerador se anula en \(x=\frac{1}{2}\) y el denominador en \(x=-2\), y solo ahí puede cambiar el signo. Con la tabla: \(f(-3)=7>0\), \(f(0)=-\frac{1}{2}<0\) y \(f(2)=\frac{3}{4}>0\). Por tanto \(f>0\) en \((-\infty,-2)\cup(\frac{1}{2},+\infty)\) y \(f<0\) en \((-2,\frac{1}{2})\).

\(f(0)=3\cdot2^0=3\) y \(f(3)=3\cdot2^3=24\). Para \(f(x)=48\): \(3\cdot2^x=48\Rightarrow2^x=16=2^4\), luego \(x=4\).

Como la base \(2>1\), \(f\) es creciente.

\(V(3)=12000\cdot0{,}9^3=12000\cdot0{,}729=8748\) €.

Valor mitad: \(0{,}9^t=0{,}5\), luego \(t=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}9}\approx6{,}58\) años.

\(\log(x-2)\) exige \(x-2>0\): \(\operatorname{Dom}f=(2,+\infty)\).

\(\log_2(x+1)=3\Rightarrow x+1=2^3=8\), luego \(x=7\).

\(\ln x=2\Rightarrow x=\mathrm{e}^2\approx7{,}39\).

\(f(-1)=2\cdot(-1)+1=-1\) (primer tramo, \(-1<1\)); \(f(1)=1^2+2=3\) y \(f(3)=3^2+2=11\) (segundo tramo).

En \(x=1\): el primer tramo da, al acercarse por la izquierda, \(2\cdot1+1=3\), y el segundo da \(f(1)=3\). Coinciden, luego no hay salto en \(x=1\).

  • \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\): \(f\) es par.
  • \(g(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-g(x)\): \(g\) es impar.
  • \(h(-x)=x^2-x\), que no es \(h(x)=x^2+x\) ni \(-h(x)=-x^2-x\): \(h\) no es par ni impar.

  1. \(B(x)=I(x)-C(x)=45x-(1500+25x)=20x-1500\). La pendiente es \(20\) (€ de beneficio por cada unidad más) y la ordenada en el origen, \(-1500\) (pérdida si no se fabrica nada: los costes fijos).

  2. \(B(x)=0\Rightarrow20x=1500\Rightarrow x=75\). A partir de \(75\) unidades hay beneficio.

  3. \(B(100)=20\cdot100-1500=500\) €.

  4. Con \(I(x)=50x\): \(50x=1500+25x\Rightarrow25x=1500\Rightarrow x=60\). Al subir el precio, el umbral baja de \(75\) a \(60\) unidades: cada unidad deja más margen (\(25\) € en vez de \(20\) €), así que los costes fijos se cubren antes.

  1. \(I(p)=p\,(150-5p)=-5p^2+150p\).

  2. \(I(p)=0\Rightarrow-5p(p-30)=0\Rightarrow p=0\) o \(p=30\). Con precio \(0\) no hay ingreso; con precio \(30\) € la demanda es \(q=150-150=0\): no se vende nada, y tampoco hay ingreso.

  3. El vértice está en \(p=-\dfrac{150}{2\cdot(-5)}=15\), con \(I(15)=-5\cdot225+150\cdot15=1125\). El ingreso máximo es \(1125\) (miles de euros) con precio de \(15\) €, y se venden \(q=150-5\cdot15=75\) mil unidades.

  4. Tiene sentido para \(0\le p\le30\) (precio no negativo y demanda \(q\ge0\)). Con \(p=20\): \(q=150-100=50\) e \(I(20)=20\cdot50=1000\) (mil euros), menos que el máximo.

  1. \(150\le200\), luego \(f(150)=5+0{,}12\cdot150=5+18=23\) €. \(300>200\), luego \(f(300)=29+0{,}2\cdot(300-200)=29+20=49\) €.

  2. Con el primer tramo, \(f(200)=5+0{,}12\cdot200=5+24=29\); con el segundo, \(29+0{,}2\cdot0=29\). Los dos valores coinciden: la función no tiene saltos en \(200\).

  3. Como \(59>29\), se usa el segundo tramo: \(29+0{,}2\,(x-200)=59\Rightarrow x-200=150\Rightarrow x=350\) kWh.

  4. La pendiente del primer tramo es \(0{,}12\) y la del segundo, \(0{,}2\): son los euros que cuesta cada kWh. Los primeros \(200\) kWh cuestan a \(0{,}12\) €/kWh y los que pasan de \(200\), a \(0{,}2\) €/kWh (más caro). La parte fija es de \(5\) €.

  1. \(C_m(x)=\dfrac{800+16x}{x}=\dfrac{800}{x}+16\). Con \(x=40\): \(C_m(40)=\dfrac{800}{40}+16=36\) €/unidad.

  2. \(16+\dfrac{800}{x}=20\Rightarrow\dfrac{800}{x}=4\Rightarrow x=200\) unidades.

  3. \(C_m(100)=\dfrac{800}{100}+16=24\), \(C_m(1000)=\dfrac{800}{1000}+16=16{,}8\) y \(C_m(10000)=\dfrac{800}{10000}+16=16{,}08\). El coste medio parece acercarse a \(16\) sin llegar a alcanzarlo. Significa que, al producir muchísimo, el coste medio se aproxima al coste variable por unidad (\(16\) €), porque el coste fijo de \(800\) € se reparte entre cada vez más unidades.

  4. Como \(x>0\), \(\dfrac{800}{x}>0\) y por tanto \(C_m(x)=16+\dfrac{800}{x}>16\): el coste medio es siempre mayor que \(16\) €, nunca llega a \(16\).

  1. \(U(0)=2000\cdot1{,}25^0=2000\) usuarios. \(U(4)=2000\cdot1{,}25^4\approx4882{,}81\), es decir, unos \(4883\) usuarios.

  2. La base es \(1{,}25\): cada mes los usuarios se multiplican por \(1{,}25\), es decir, aumentan un \(25\,\%\).

  3. \(2000\cdot1{,}25^t=10000\Rightarrow1{,}25^t=5\Rightarrow t=\dfrac{\ln5}{\ln1{,}25}\approx7{,}21\) meses.

  4. Se duplican cuando \(1{,}25^t=2\), luego \(t=\dfrac{\ln2}{\ln1{,}25}\approx3{,}11\) meses (a los \(3{,}11\) meses, sea cual sea el momento de partida).

  1. \(V(3)=24000\cdot0{,}85^3=24000\cdot0{,}614125=14739\) € y \(V(5)=24000\cdot0{,}85^5\approx10648{,}93\) €.

  2. Ha perdido \(24000-14739=9261\) €.

  3. \(0{,}85^t=0{,}5\Rightarrow t=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}85}\approx4{,}27\) años.

  4. \(0{,}85^t\) es siempre positivo (una potencia de base positiva no puede ser cero), así que \(V(t)>0\) para todo \(t\): cada año pierde el \(15\,\%\) de lo que le queda, pero nunca todo.

  1. \(L(10^{-5})=10\cdot\log\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}}=10\cdot\log10^{7}=70\) dB y \(L(10^{-3})=10\cdot\log10^{9}=90\) dB.

  2. Con intensidad \(2I\): \(L(2I)-L(I)=10\bigl(\log\tfrac{2I}{10^{-12}}-\log\tfrac{I}{10^{-12}}\bigr)=10\cdot\log2\approx3{,}01\) dB.

  3. En la diferencia anterior el cociente \(\dfrac{I}{10^{-12}}\) se simplifica y queda \(10\log2\), que no contiene \(I\): duplicar la intensidad siempre añade \(3{,}01\) dB, sea cual sea la intensidad inicial. Por ejemplo, de \(70\) a \(73{,}01\) dB y de \(90\) a \(93{,}01\) dB.

  4. Las intensidades de los sonidos cubren un rango enorme (de \(10^{-12}\) a \(1\) o más); el logaritmo lo comprime en una escala manejable (de \(0\) a unos \(120\) dB) y, además, refleja que el oído percibe las razones entre intensidades más que las diferencias.

  1. \(2^{x+1}=32=2^5\Rightarrow x+1=5\Rightarrow x=4\).

  2. Con \(t=3^x\): \(t^2-4t+3=0\Rightarrow t=1\) o \(t=3\). Entonces \(3^x=1\Rightarrow x=0\) y \(3^x=3\Rightarrow x=1\).

  3. \(\ln x+\ln(x-2)=\ln\bigl(x(x-2)\bigr)=\ln3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3\) o \(x=-1\). El dominio exige \(x>2\), así que \(x=-1\) no vale: solo \(x=3\).

  4. \(\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3\Rightarrow x(x-2)=2^3=8\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow x=4\) o \(x=-2\). Por el dominio (\(x>2\)), solo \(x=4\).

  1. \(f(0)=3\Rightarrow c=3\); \(f(1)=2\Rightarrow a+b+c=2\); \(f(3)=6\Rightarrow9a+3b+c=6\). Con \(c=3\): \(a+b=-1\) y \(9a+3b=3\), es decir, \(3a+b=1\).

  2. Restando, \(2a=2\), luego \(a=1\), \(b=-2\) y \(c=3\): \(f(x)=x^2-2x+3\).

  3. Vértice: \(x=-\dfrac{-2}{2}=1\), con \(f(1)=2\): \((1,2)\). Cortes con el eje \(X\): \(x^2-2x+3=0\) tiene discriminante \(4-12=-8<0\), luego no corta al eje \(X\) (el vértice es el mínimo y está por encima).

  1. Sin saltos en \(x=12000\): el primer tramo da \(0{,}10\cdot12000=1200\) y el segundo da \(a+0=a\). Debe ser \(a=1200\).

  2. \(T(20000)=1200+0{,}2\,(20000-12000)=1200+1600=2800\) €.

  3. \(\dfrac{2800}{20000}=0{,}14\), es decir, el \(14\,\%\) de sus ingresos.

  4. \(0{,}10\) es el tipo del primer tramo: el \(10\,\%\) de los ingresos hasta \(12000\) €. \(0{,}2\) es el tipo marginal del segundo tramo: de cada euro por encima de \(12000\) se pagan \(0{,}20\) €.

  1. \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Con el eje \(Y\): \(f(0)=\dfrac{-4}{-1}=4\), el punto \((0,4)\). Con el eje \(X\): \(x^2-4=0\) da \(x=\pm2\), los puntos \((-2,0)\) y \((2,0)\).

  2. El signo cambia en \(-2\), \(1\) y \(2\): \(f<0\) en \((-\infty,-2)\) (numerador \(>0\), denominador \(<0\)); \(f>0\) en \((-2,1)\) (ambos \(<0\)); \(f<0\) en \((1,2)\) (numerador \(<0\), denominador \(>0\)); y \(f>0\) en \((2,+\infty)\).

  3. \(f(-3)=\dfrac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\), \(f(\frac{1}{2})=\dfrac{\frac14-4}{-\frac12}=\frac{15}{2}\) y \(f(3)=\dfrac{5}{2}\).

  4. \(f(0{,}9)=\dfrac{0{,}81-4}{-0{,}1}=31{,}9\) y \(f(1{,}1)=\dfrac{1{,}21-4}{0{,}1}=-27{,}9\). Como \(x=1\) no está en el dominio y a ambos lados de \(x=1\) los valores son muy grandes y de signo opuesto (positivos a la izquierda, negativos a la derecha), la gráfica está partida en dos ramas separadas por \(x=1\).

  1. \(A(m)=10+0{,}05m\) y \(B(m)=0{,}12m\).

  2. \(10+0{,}05m=0{,}12m\Rightarrow10=0{,}07m\Rightarrow m=\dfrac{1000}{7}\approx142{,}86\) minutos.

  3. Con \(100\) minutos: \(A(100)=10+5=15\) € y \(B(100)=12\) €, conviene la B. Con \(200\) minutos: \(A(200)=10+10=20\) € y \(B(200)=24\) €, conviene la A.

  4. La tarifa B (sin cuota) es más barata para consumos bajos, hasta unos \(142{,}86\) minutos al mes; a partir de ahí, la A, que tiene un precio por minuto menor, compensa su cuota fija de \(10\) €.

  1. \(f(1)=30+10\ln1=30\); \(f(\mathrm{e})=30+10=40\); \(f(\mathrm{e}^2)=30+20=50\).

  2. \(30+10\ln t=60\Rightarrow\ln t=3\Rightarrow t=\mathrm{e}^3\approx20{,}09\) horas.

  3. \(\ln t\) es creciente para \(t\ge1\) y se multiplica por \(10>0\), luego \(f\) es creciente.

  4. \(f(\mathrm{e}\,t)=30+10(\ln\mathrm{e}+\ln t)=f(t)+10\): el rendimiento sube \(10\) puntos. Al principio cuesta poco subir, pero para subir otros \(10\) puntos hay que multiplicar las horas por \(\mathrm{e}\approx2{,}72\) (rendimientos decrecientes).

  1. Interés simple: \(1000+1000\cdot0{,}04\cdot10=1400\) €. Interés compuesto: \(1000\cdot1{,}04^{10}\approx1480{,}24\) €.

  2. \(C(t)=1000\cdot1{,}04^t\).

  3. \(1000\cdot1{,}04^t=3000\Rightarrow1{,}04^t=3\Rightarrow t=\dfrac{\ln3}{\ln1{,}04}\approx28{,}01\) años.

  4. A los \(10\) años la diferencia es \(1480{,}24-1400=80{,}24\) €. Con interés simple se cobra siempre sobre el capital inicial; con interés compuesto los intereses también generan intereses, por lo que el capital crece de forma exponencial y la diferencia aumenta con el tiempo.

  1. Si \(x<2\), \(|x-2|=2-x\) y \(f(x)=3-x\); si \(x\ge2\), \(|x-2|=x-2\) y \(f(x)=x-1\). Es decir, \(f(x)=\begin{cases}3-x&x<2\\x-1&x\ge2\end{cases}\).

  2. Como \(|x-2|\ge0\), \(f(x)\ge1\), y se alcanza en \(x=2\): el valor mínimo es \(1\) en el punto \((2,1)\).

  3. \(|x-2|+1=4\Rightarrow|x-2|=3\Rightarrow x-2=\pm3\), luego \(x=5\) o \(x=-1\).

  4. Es una «V» con vértice en \((2,1)\): baja con pendiente \(-1\) hasta \(x=2\) y sube con pendiente \(1\) desde allí. Pasa por \((-1,4)\), \((0,3)\), \((3,2)\) y \((5,4)\).

  1. \(B(x)=-x^2+12x-(2x+16)=-x^2+10x-16\).

  2. \(B(x)>0\) entre las raíces: \(-x^2+10x-16=0\Rightarrow x^2-10x+16=0\Rightarrow x=2\) o \(x=8\). Como la parábola se abre hacia abajo, \(B>0\) para \(2<x<8\) (miles de unidades).

  3. El vértice está en \(x=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5\), con \(B(5)=-25+50-16=9\). El mayor beneficio es de \(9\) mil euros al vender \(5\) mil unidades.

  4. \(I(2)=-4+24=20\) y \(C(2)=4+16=20\); \(I(8)=-64+96=32\) y \(C(8)=16+16=32\). En ambos extremos ingresos y costes son iguales, luego el beneficio es cero.