Sistemas de ecuaciones lineales — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de álgebra, 3 puntos, a veces con dos opciones de las que se elige una). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final.

Clasificación y resolución

1. Clasifica sin resolverlos, calculando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada, los sistemas: a) \(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases}\); b) \(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=7\end{cases}\); c) \(\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}\).

2. Resuelve por Gauss: \(\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=8\\x+2y-z=-3\end{cases}\)

3. Resuelve por Gauss y clasifica: \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\3x+2z=9\end{cases}\)

4. Resuelve por Gauss y clasifica: \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=3\\x-y=0\end{cases}\)

5. Resuelve por la regla de Cramer: \(\begin{cases}2x+y-z=1\\x-y+2z=4\\x+2y+z=5\end{cases}\)

6. Escribe el sistema \(\begin{cases}2x+3y=7\\x+2y=4\end{cases}\) en la forma \(A\cdot X=B\), calcula \(A^{-1}\) y resuélvelo.

Planteamiento

7. En una tienda, 3 camisetas y 2 gorras cuestan 46 €, y 2 camisetas y 3 gorras cuestan 44 €. Halla el precio de cada artículo.

8. Se mezclan tres cafés, A, B y C, que cuestan 5, 7 y 9 €/kg, para obtener 100 kg de mezcla a 7 €/kg. La cantidad de C es el doble que la de B. ¿Cuántos kilos se usan de cada uno?

9. Dado \(\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\3x+6y+z=5\end{cases}\), escribe la matriz de coeficientes y la ampliada, calcula sus rangos y clasifica el sistema indicando cuántos parámetros tiene.

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea el sistema \(\begin{cases}mx+z=1\\2x+2y+3z=2\\2x+(m+1)z=2\end{cases}\)

  1. (1,5 puntos) Discútelo según los valores de \(m\).

  2. (0,75 puntos) Resuélvelo para \(m=0\).

  3. (0,75 puntos) Resuélvelo para \(m=1\).

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una asociación reparte 12 000 € en tres ayudas: material escolar (\(x\)), comedor (\(y\)) y transporte (\(z\)). El comedor recibe el doble que el transporte, y el material escolar recibe 1 000 € más que el comedor.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema de ecuaciones.

  2. (1 punto) Resuélvelo por el método de Gauss.

  3. (0,5 puntos) Comprueba la solución e interpreta el resultado.

  4. (0,75 puntos) Si el presupuesto fuera de 15 000 € con las mismas condiciones, ¿cuánto recibiría cada ayuda?

12. (Tipo PAU · 3 puntos) Elige una de las dos opciones.

Opción A. Sea el sistema \(\begin{cases}x+y=2\\mx+3y=6\end{cases}\)

  1. (1,5 puntos) Discútelo según los valores de \(m\).

  2. (1,5 puntos) Resuélvelo para \(m=3\) y para \(m=0\).

Opción B. Sea el sistema \(\begin{cases}x+2y+z=4\\2x+y-z=2\\x-y+2z=2\end{cases}\)

  1. (1 punto) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y justifica que el sistema es compatible determinado.

  2. (2 puntos) Resuélvelo por la regla de Cramer.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En un bar, el primer pedido (2 bocadillos, 3 refrescos y 1 café) costó 15 €; el segundo (1 bocadillo, 2 refrescos y 2 cafés), 10 €; y el tercero (3 bocadillos, 2 refrescos y 1 café), 17 €. Sean \(x\), \(y\), \(z\) los precios de un bocadillo, un refresco y un café.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema y escríbelo en forma matricial.

  2. (1,5 puntos) Calcula los precios por la regla de Cramer.

  3. (0,75 puntos) ¿Cuánto costaría un pedido de 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 cafés?

14. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una ONG prepara 60 lotes de tres tipos (básico, medio y completo) con \(x\), \(y\), \(z\) lotes. El presupuesto, a 2, 3 y 5 € por lote, es de 200 €. Un voluntario anota además una tercera relación, \(3x+4y+6z=260\), que resulta ser la suma de las dos anteriores.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema y justifica que es compatible indeterminado.

  2. (1 punto) Resuélvelo en función de un parámetro.

  3. (0,75 puntos) Si se quiere que haya al menos un lote de cada tipo y que las cantidades sean enteras, ¿entre qué valores puede estar el número de lotes completos? ¿Cuántas soluciones hay?

  4. (0,5 puntos) Si además se decide que haya 20 lotes completos, ¿cuántos hay de cada tipo?

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En la ONG del ejercicio anterior, otro voluntario anota la tercera relación como \(3x+4y+6z=250\) en lugar de \(260\).

  1. (1 punto) Escribe el sistema y su matriz ampliada.

  2. (1 punto) Calcula los rangos y clasifica el sistema.

  3. (1 punto) Interpreta el resultado en el contexto: ¿qué puede concluir la ONG sobre los registros?

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\1&2&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}5\\3\\8\end{pmatrix}\).

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(A\) es invertible.

  2. (1,5 puntos) Calcula \(A^{-1}\).

  3. (1 punto) Resuelve el sistema \(A\cdot X=B\) con \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos) Elige una de las dos opciones.

Opción A. Sea el sistema homogéneo \(\begin{cases}x+y+z=0\\x+2y+3z=0\\2x+3y+mz=0\end{cases}\)

  1. (1,5 puntos) Halla \(m\) para que tenga soluciones distintas de la trivial.

  2. (1,5 puntos) Resuélvelo para ese valor de \(m\).

Opción B. Sea el sistema \(\begin{cases}x+y+z=a\\x-y=0\\2x+z=2\end{cases}\)

  1. (1,5 puntos) Estudia, según \(a\), los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

  2. (1,5 puntos) Resuélvelo cuando sea compatible.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea el sistema \(\begin{cases}2x+y+z=1\\x+my+z=1\\x+y+2z=m\end{cases}\)

  1. (1,25 puntos) Discútelo según los valores de \(m\).

  2. (0,75 puntos) Resuélvelo para \(m=1\).

  3. (1 punto) Escribe la solución general para \(m\neq\frac{2}{3}\) aplicando la regla de Cramer.

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una panadería elabora tres tipos de pan en tandas. Cada tanda del primero usa 3 kg de harina, 2 horas de horno y 1 hora de mano de obra; la del segundo, 1, 2 y 3; y la del tercero, 2, 1 y 2. Esta semana dispone de 85 kg de harina, 70 horas de horno y 95 horas de mano de obra, y quiere agotar los tres recursos.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema de ecuaciones donde \(x\), \(y\), \(z\) son las tandas de cada pan.

  2. (1,25 puntos) Resuélvelo por el método que prefieras.

  3. (0,5 puntos) Justifica que la solución es única.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado.

20. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En unas elecciones municipales con 1200 votos válidos compiten tres candidaturas. La primera obtiene el doble de votos que la tercera, y la segunda obtiene 100 votos más que la tercera.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema.

  2. (1 punto) Calcula los votos de cada candidatura.

  3. (0,75 puntos) Calcula el porcentaje de cada una, con dos decimales.

  4. (0,5 puntos) ¿Tiene la primera mayoría absoluta (más de la mitad de los votos)? Justifícalo.

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una persona invierte 20 000 € en tres productos con rentabilidades anuales del \(3\,\%\), \(5\,\%\) y \(8\,\%\). Invierte en el tercero la misma cantidad que en el primero, y el primer año obtiene 1 060 € de intereses.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema de ecuaciones.

  2. (1,25 puntos) Calcula la cantidad invertida en cada producto.

  3. (0,5 puntos) Calcula la rentabilidad media de toda la inversión.

  4. (0,5 puntos) Justifica por qué la rentabilidad media está entre el \(3\,\%\) y el \(8\,\%\).

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(A_m=\begin{pmatrix}m&1\\4&m\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). Se considera el sistema \(A_m\cdot X=B\).

  1. (0,75 puntos) ¿Para qué valores de \(m\) tiene inversa \(A_m\)?

  2. (0,75 puntos) Resuelve el sistema para \(m=1\) con la matriz inversa.

  3. (1,5 puntos) Clasifica el sistema para cada valor de \(m\) del apartado a) en el que \(A_m\) no tiene inversa y resuélvelo si es compatible.

23. (Tipo PAU · 3 puntos) En un cine se vendieron 200 entradas entre adultos (\(x\)), jóvenes (\(y\)) y jubilados (\(z\)), a 10, 6 y 2 euros, con una recaudación de 1000 €.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema y escribe su solución general en función de un parámetro \(\lambda=x\).

  2. (0,75 puntos) Determina los valores de \(\lambda\) para los que las tres cantidades son enteros no negativos y cuántas soluciones hay.

  3. (0,75 puntos) Si además se sabe que había 70 jubilados, calcula \(x\), \(y\) y \(z\).

  4. (0,75 puntos) Comprueba que la solución del apartado c) cumple las tres condiciones.

24. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una almazara mezcla tres aceites de acidez \(0{,}2\,\%\), \(0{,}4\,\%\) y \(1{,}0\,\%\) para obtener 100 litros con una acidez media de \(0{,}46\,\%\). De los dos primeros usa 20 litros más del segundo que del primero.

  1. (0,75 puntos) Plantea el sistema (la acidez de la mezcla es la media ponderada).

  2. (1,5 puntos) Calcula los litros de cada aceite.

  3. (0,75 puntos) Interpreta el resultado y comprueba que la acidez media es la pedida.

25. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea el sistema \(\begin{cases}mx+z=3\\2x+3y-2z=0\\x+mz=3\end{cases}\)

  1. (1,5 puntos) Discútelo según los valores de \(m\).

  2. (0,75 puntos) Resuélvelo para \(m=1\).

  3. (0,75 puntos) Resuélvelo para \(m=2\).

Soluciones

  1. \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\): \(\operatorname{rg}A=1\); la ampliada \(\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\end{pmatrix}\) tiene la segunda fila doble de la primera: \(\operatorname{rg}A^*=1\). Como \(1=1<2\) incógnitas, es SCI.

  2. \(\operatorname{rg}A=1\), pero \(\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&7\end{pmatrix}\) tiene el menor \(\begin{vmatrix}1&3\\2&7\end{vmatrix}=1\neq0\): \(\operatorname{rg}A^*=2\). Como \(1\neq2\), es SI.

  3. \(|A|=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2=n\). Es SCD.

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\2&-1&1&8\\1&2&-1&-3\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\0&-3&-1&0\\0&1&-2&-7\end{array}\right)\xrightarrow{3F_3+F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4\\0&-3&-1&0\\0&0&-7&-21\end{array}\right)\).

De la última fila, \(z=3\). De la segunda, \(-3y-3=0\), luego \(y=-1\). De la primera, \(x=4-y-z=2\). Solución: \(x=2\), \(y=-1\), \(z=3\).

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\3&0&2&9\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-3F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&-3&-1&-9\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&0&0&0\end{array}\right)\).

Quedan 2 ecuaciones independientes para 3 incógnitas: \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\), SCI con un parámetro. Tomando \(z=3\lambda\): \(-3y-3\lambda=-9\Rightarrow y=3-\lambda\) y \(x=6-y-z=3-2\lambda\).

Solución: \(x=3-2\lambda\), \(y=3-\lambda\), \(z=3\lambda\), con \(\lambda\in\mathbb{R}\).

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&2&2&3\\1&-1&0&0\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&1\\0&-2&-1&-1\end{array}\right)\).

La segunda fila dice \(0=1\): el sistema es incompatible (SI). En rangos, \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\).

\(|A|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&-1&2\\1&2&1\end{vmatrix}=-12\neq0\), luego es SCD.

\(|A_x|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\4&-1&2\\5&2&1\end{vmatrix}=-12\), \(|A_y|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&4&2\\1&5&1\end{vmatrix}=-12\) y \(|A_z|=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-1&4\\1&2&5\end{vmatrix}=-24\).

\(x=\dfrac{-12}{-12}=1\), \(y=\dfrac{-12}{-12}=1\) y \(z=\dfrac{-24}{-12}=2\).

\(A\cdot X=B\) con \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}\).

\(|A|=4-3=1\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\). Entonces \(X=A^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}2\cdot7-3\cdot4\\-7+2\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\), es decir, \(x=2\) e \(y=1\).

Sean \(c\) el precio de una camiseta y \(g\) el de una gorra: \(\begin{cases}3c+2g=46\\2c+3g=44\end{cases}\). Restando la segunda a la primera, \(c-g=2\), luego \(c=g+2\). Sustituyendo, \(3g+6+2g=46\), de donde \(g=8\) y \(c=10\).

La camiseta cuesta \(10\) € y la gorra, \(8\) €.

Sean \(x\), \(y\), \(z\) los kilos de A, B y C. Las condiciones son \(x+y+z=100\) (total), \(5x+7y+9z=700\) (coste: \(100\cdot7\)) y \(z=2y\).

Sustituyendo \(z=2y\): \(x+3y=100\) y \(5x+25y=700\), es decir, \(x+5y=140\). Restando, \(2y=40\), luego \(y=20\), \(z=40\) y \(x=40\).

Se usan \(40\) kg de A, \(20\) kg de B y \(40\) kg de C.

\(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\\3&6&1\end{pmatrix}\) y \(A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\2&4&-2&2\\3&6&1&5\end{array}\right)\).

La segunda fila es el doble de la primera tanto en \(A\) como en \(A^*\) (también en el término independiente, \(2=2\cdot1\)), así que se puede eliminar. La primera y la tercera no son proporcionales, luego \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=2\). Como \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\), es SCI con \(3-2=1\) parámetro.

  1. \(|A|=\begin{vmatrix}m&0&1\\2&2&3\\2&0&m+1\end{vmatrix}=2\bigl(m(m+1)-2\bigr)=2(m-1)(m+2)\), que se anula para \(m=1\) y \(m=-2\).
  • Si \(m\neq1\) y \(m\neq-2\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), SCD.
  • Si \(m=1\): \(F_3=2F_1\) en \(A\) y en \(A^*\) (\(2=2\cdot1\)), luego \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\): SCI.
  • Si \(m=-2\): \(F_3=-F_1\) en \(A\) (\(\operatorname{rg}A=2\)), pero los términos independientes no cumplen \(2=-1\), luego \(\operatorname{rg}A^*=3\): SI.

  1. Para \(m=0\): la primera ecuación da \(z=1\); la tercera, \(2x+z=2\), da \(x=\frac12\); y la segunda, \(2x+2y+3z=2\), da \(y=-1\). Solución: \(x=\frac{1}{2}\), \(y=-1\), \(z=1\).

  2. Para \(m=1\): \(x+z=1\) y \(2x+2y+3z=2\). Con \(z=\lambda\): \(x=1-\lambda\) y \(2-2\lambda+2y+3\lambda=2\Rightarrow y=-\frac{\lambda}{2}\). Solución: \(x=1-\lambda\), \(y=-\frac{\lambda}{2}\), \(z=\lambda\).

  1. \(\begin{cases}x+y+z=12000\\y-2z=0\\x-y=1000\end{cases}\)

  2. \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&12000\\0&1&-2&0\\1&-1&0&1000\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&12000\\0&1&-2&0\\0&-2&-1&-11000\end{array}\right)\xrightarrow{F_3+2F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&12000\\0&1&-2&0\\0&0&-5&-11000\end{array}\right)\).

De la última fila, \(z=2200\). De la segunda, \(y=2z=4400\). De la primera, \(x=12000-4400-2200=5400\).

  1. Comprobación: \(5400+4400+2200=12000\), \(y=2z\) y \(x=y+1000\). La asociación destina \(5400\) € a material escolar, \(4400\) € a comedor y \(2200\) € a transporte.

  2. Con \(15000\) €: \(x+y+z=2z+1000+2z+z=5z+1000=15000\), luego \(z=2800\), \(y=5600\) y \(x=6600\).

Opción A.

  1. \(|A|=\begin{vmatrix}1&1\\m&3\end{vmatrix}=3-m\). Si \(m\neq3\), \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2\) y es SCD. Si \(m=3\), la segunda fila de \(A=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix}\) y de \(A^*=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&2\\3&3&6\end{array}\right)\) es el triple de la primera: \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=1<2\), SCI. No hay valor con sistema incompatible.

  2. Para \(m=3\) queda una sola ecuación, \(x+y=2\): con \(y=\lambda\), \(x=2-\lambda\). Para \(m=0\): \(3y=6\) da \(y=2\) y entonces \(x=0\).

Opción B.

  1. Por Sarrus, \(|A|=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&1&-1\\1&-1&2\end{vmatrix}=(2-2-2)-(1+1+8)=-12\neq0\). Entonces \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\) y el sistema es compatible determinado.

  2. \(|A_x|=\begin{vmatrix}4&2&1\\2&1&-1\\2&-1&2\end{vmatrix}=-12\), \(|A_y|=\begin{vmatrix}1&4&1\\2&2&-1\\1&2&2\end{vmatrix}=-12\) y \(|A_z|=\begin{vmatrix}1&2&4\\2&1&2\\1&-1&2\end{vmatrix}=-12\), luego \(x=\frac{-12}{-12}=1\), \(y=1\) y \(z=1\).

  1. \(\begin{cases}2x+3y+z=15\\x+2y+2z=10\\3x+2y+z=17\end{cases}\), es decir, \(A\cdot X=B\) con \(A=\begin{pmatrix}2&3&1\\1&2&2\\3&2&1\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}15\\10\\17\end{pmatrix}\).

  2. \(|A|=(4+18+2)-(6+8+3)=7\neq0\). Sustituyendo cada columna por \(B\): \(|A_x|=28\), \(|A_y|=14\) y \(|A_z|=7\). Entonces \(x=\frac{28}{7}=4\), \(y=\frac{14}{7}=2\) y \(z=\frac77=1\). Un bocadillo cuesta \(4\) €, un refresco \(2\) € y un café \(1\) €.

  3. \(4\cdot4+2\cdot2+3\cdot1=23\) €.

  1. \(\begin{cases}x+y+z=60\\2x+3y+5z=200\\3x+4y+6z=260\end{cases}\). La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, luego \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\) y el sistema es compatible indeterminado con un parámetro.

  2. \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&60\\2&3&5&200\\3&4&6&260\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-3F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&60\\0&1&3&80\\0&1&3&80\end{array}\right)\); la tercera fila sobra. Con \(z=\lambda\): \(y=80-3\lambda\) y \(x=60-y-z=2\lambda-20\).

Solución: \(x=2\lambda-20\), \(y=80-3\lambda\), \(z=\lambda\).

  1. Para \(x\ge1\) hace falta \(2\lambda-20\ge1\), es decir, \(\lambda\ge10{,}5\); para \(y\ge1\), \(80-3\lambda\ge1\), es decir, \(\lambda\le26{,}3\). Con \(\lambda\) entero, \(11\le\lambda\le26\). Hay \(26-11+1=16\) soluciones.

  2. Con \(z=20\): \(x=2\cdot20-20=20\) e \(y=80-60=20\): 20 lotes de cada tipo.

  1. \(\begin{cases}x+y+z=60\\2x+3y+5z=200\\3x+4y+6z=250\end{cases}\) con \(A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&60\\2&3&5&200\\3&4&6&250\end{array}\right)\).

  2. \(F_2-2F_1\) y \(F_3-3F_1\) dan \((0,1,3\,|\,80)\) y \((0,1,3\,|\,70)\). Restando, \(F_3-F_2=(0,0,0\,|\,-10)\), es decir, \(0=-10\). Así \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\): el sistema es incompatible.

  3. No existen valores de \(x\), \(y\), \(z\) que cumplan los tres registros a la vez. La ONG debe concluir que al menos uno de los registros es erróneo: los dos primeros fijan \(y+3z=80\), y el tercero debería dar \(3x+4y+6z=260\); con \(250\) hay una contradicción.

  1. Desarrollando por la tercera columna, \(|A|=1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0\), luego \(A\) es invertible.

  2. La matriz de adjuntos es \(\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&-3\\0&0&1\end{pmatrix}\). Su traspuesta, dividida entre \(|A|=1\), es \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&0\\1&-3&1\end{pmatrix}\).

  3. \(X=A^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot5-1\cdot3\\-5+2\cdot3\\5-3\cdot3+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}\): \(x=2\), \(y=1\), \(z=4\).

Opción A.

  1. Un sistema homogéneo siempre es compatible; tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si \(|A|=0\). Por Sarrus, \(|A|=(2m+6+3)-(4+9+m)=m-4\), que se anula para \(m=4\).

  2. Para \(m=4\), \(\operatorname{rg}A=2\) (por ejemplo, \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0\)) y las dos primeras ecuaciones bastan: \(x+y+z=0\) y \(x+2y+3z=0\). Restándolas, \(y+2z=0\), luego con \(z=\lambda\): \(y=-2\lambda\) y \(x=\lambda\).

Solución: \(x=\lambda\), \(y=-2\lambda\), \(z=\lambda\).

Opción B.

  1. \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\2&0&1\end{pmatrix}\): \(|A|=0\) y el menor \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0\), luego \(\operatorname{rg}A=2\). La tercera fila de \(A\) es la suma de las otras dos; en la ampliada, \(F_3-F_1-F_2=(0,0,0\,|\,2-a)\). Si \(a=2\), \(\operatorname{rg}A^*=2\); si \(a\neq2\), \(\operatorname{rg}A^*=3\).

  2. Es compatible solo para \(a=2\) (SCI, un parámetro). De \(x-y=0\) se tiene \(y=x\), y \(2x+z=2\). Con \(z=2\lambda\): \(x=1-\lambda\).

Solución: \(x=1-\lambda\), \(y=1-\lambda\), \(z=2\lambda\).

  1. \(|A|=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&m&1\\1&1&2\end{vmatrix}=(4m+1+1)-(m+2+2)=3m-2\), que se anula para \(m=\frac{2}{3}\).
  • Si \(m\neq\frac23\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), SCD.
  • Si \(m=\frac23\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\) (el menor de \(A^*\) de las columnas 1, 2 y 4, \(\begin{vmatrix}2&1&1\\1&\frac{2}{3}&1\\1&1&\frac{2}{3}\end{vmatrix}=-\frac{4}{9}\), es distinto de 0): SI.

  1. Para \(m=1\): \(\begin{cases}2x+y+z=1\\x+y+z=1\\x+y+2z=1\end{cases}\). Restando la segunda a la primera, \(x=0\); restando la segunda a la tercera, \(z=0\); y entonces \(y=1\). Solución: \(x=0\), \(y=1\), \(z=0\).

  2. Con la regla de Cramer: \(|A_x|=-m^2+3m-2\), \(|A_y|=2-m\) y \(|A_z|=2m^2-2m\), y entonces \(x=\frac{-m^2+3m-2}{3m-2}\), \(y=\frac{2-m}{3m-2}\), \(z=\frac{2m^2-2m}{3m-2}\). (Para \(m=1\) dan \((0,1,0)\), como en b).)

  1. Por recurso: harina, \(3x+y+2z=85\); horno, \(2x+2y+z=70\); mano de obra, \(x+3y+2z=95\).

  2. \(A=\begin{pmatrix}3&1&2\\2&2&1\\1&3&2\end{pmatrix}\) con \(|A|=(12+1+12)-(4+9+4)=8\). Con la regla de Cramer: \(|A_x|=80\), \(|A_y|=120\) y \(|A_z|=160\), luego \(x=\frac{80}{8}=10\), \(y=\frac{120}{8}=15\) y \(z=\frac{160}{8}=20\).

  3. \(|A|=8\neq0\), luego \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3=n\): el sistema es compatible determinado.

  4. Para agotar los tres recursos hay que hacer \(10\) tandas del primer pan, \(15\) del segundo y \(20\) del tercero. Al ser la solución única, no hay otra combinación de tandas que agote exactamente los recursos.

  1. \(\begin{cases}x+y+z=1200\\x=2z\\y=z+100\end{cases}\), con \(x\), \(y\), \(z\) los votos de cada candidatura.

  2. Sustituyendo: \(2z+(z+100)+z=1200\), es decir, \(4z=1100\), luego \(z=275\), \(x=550\) e \(y=375\).

  3. \(\frac{550}{1200}=45{,}83\,\%\), \(\frac{375}{1200}=31{,}25\,\%\) y \(\frac{275}{1200}=22{,}92\,\%\) (suman \(100\,\%\)).

  4. La mayoría absoluta exige más de \(600\) votos (la mitad de \(1200\)). Con \(550<600\), la primera no tiene mayoría absoluta (tiene el \(45{,}83\,\%\)).

  1. \(\begin{cases}x+y+z=20000\\0{,}03x+0{,}05y+0{,}08z=1060\\z=x\end{cases}\), o, multiplicando la segunda por 100, \(3x+5y+8z=106000\).

  2. Con \(z=x\): \(2x+y=20000\) y \(11x+5y=106000\). De la primera, \(y=20000-2x\), y en la segunda \(11x+100000-10x=106000\), luego \(x=6000\). Entonces \(y=8000\) y \(z=6000\).

  3. Rentabilidad media \(=\dfrac{1060}{20000}=0{,}053\), es decir, \(5{,}3\,\%\).

  4. La rentabilidad media es una media ponderada de \(3\,\%\), \(5\,\%\) y \(8\,\%\) con pesos positivos que suman 1 (\(\frac{6000}{20000}\), \(\frac{8000}{20000}\), \(\frac{6000}{20000}\)), así que queda entre el menor y el mayor de ellos: \(3\,\%<5{,}3\,\%<8\,\%\).

  1. \(|A_m|=m^2-4\), que se anula para \(m=2\) y \(m=-2\). Tiene inversa si \(m\neq2\) y \(m\neq-2\).

  2. Para \(m=1\): \(A_1=\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\), \(|A_1|=-3\) y \(A_1^{-1}=\dfrac{1}{-3}\begin{pmatrix}1&-1\\-4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\). Entonces \(X=A_1^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}-\frac13+\frac23\\\frac43-\frac23\end{pmatrix}\), es decir, \(x=\frac{1}{3}\) e \(y=\frac{2}{3}\).

  3. Para \(m=2\): \(A_2=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}\) y la ampliada \(\left(\begin{array}{cc|c}2&1&1\\4&2&2\end{array}\right)\) tienen la segunda fila doble de la primera: \(\operatorname{rg}A_2=\operatorname{rg}A^*_2=1<2\), SCI. Una sola ecuación, \(2x+y=1\): con \(x=\lambda\), \(y=1-2\lambda\).

Para \(m=-2\): \(\operatorname{rg}A_{-2}=1\), pero en la ampliada \(\left(\begin{array}{cc|c}-2&1&1\\4&-2&2\end{array}\right)\) el menor \(\begin{vmatrix}1&1\\-2&2\end{vmatrix}=4\neq0\), luego \(\operatorname{rg}A^*_{-2}=2\): SI.

  1. \(\begin{cases}x+y+z=200\\10x+6y+2z=1000\end{cases}\). Dividiendo la segunda entre 2, \(5x+3y+z=500\), y restándole la primera, \(4x+2y=300\), es decir, \(y=150-2x\). Con \(x=\lambda\): \(y=150-2\lambda\) y \(z=200-\lambda-(150-2\lambda)=50+\lambda\). Hay dos ecuaciones y tres incógnitas: SCI.

Solución: \(x=\lambda\), \(y=150-2\lambda\), \(z=50+\lambda\).

  1. Hacen falta \(x\ge0\), \(y\ge0\) y \(z\ge0\): \(150-2\lambda\ge0\) da \(\lambda\le75\), y \(\lambda\ge0\). Con \(\lambda\) entero, \(0\le\lambda\le75\): hay \(76\) soluciones.

  2. Si \(z=70\), entonces \(50+\lambda=70\), luego \(\lambda=20\), \(y=110\) y \(x=20\): \(20\) adultos, \(110\) jóvenes y \(70\) jubilados.

  3. \(20+110+70=200\) entradas y \(10\cdot20+6\cdot110+2\cdot70=200+660+140=1000\) €.

  1. Con \(x\), \(y\), \(z\) los litros de cada aceite: \(\begin{cases}x+y+z=100\\0{,}2x+0{,}4y+1{,}0z=0{,}46\cdot100\\y=x+20\end{cases}\), es decir, \(x+y+z=100\), \(x+2y+5z=230\) e \(y-x=20\).

  2. Sustituyendo \(y=x+20\): \(2x+z=80\) y \(3x+5z=190\). De la primera, \(z=80-2x\), y en la segunda \(3x+400-10x=190\), luego \(x=30\). Entonces \(y=50\) y \(z=20\).

  3. Se mezclan \(30\) L de acidez \(0{,}2\,\%\), \(50\) L de \(0{,}4\,\%\) y \(20\) L de \(1{,}0\,\%\). Acidez media: \(\dfrac{0{,}2\cdot30+0{,}4\cdot50+1\cdot20}{100}=\dfrac{46}{100}=0{,}46\,\%\), como se pedía.

  1. Desarrollando por la segunda columna, \(|A|=3\,(m^2-1)=3(m-1)(m+1)\).
  • Si \(m\neq1\) y \(m\neq-1\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), SCD.
  • Si \(m=1\): \(F_1=F_3\) en \(A\) y en \(A^*\) (\(3=3\)), luego \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\): SCI.
  • Si \(m=-1\): \(F_3=-F_1\) en \(A\) (\(\operatorname{rg}A=2\)), pero \(3\neq-3\) en los términos independientes: \(\operatorname{rg}A^*=3\), SI.

  1. Para \(m=1\): \(x+z=3\) y \(2x+3y-2z=0\). Con \(z=3\lambda\): \(x=3-3\lambda\) y \(6-6\lambda+3y-6\lambda=0\Rightarrow y=4\lambda-2\). Solución: \(x=3-3\lambda\), \(y=4\lambda-2\), \(z=3\lambda\).

  2. Para \(m=2\): \(2x+z=3\) y \(x+2z=3\) dan \(x=1\) y \(z=1\); la segunda ecuación, \(2+3y-2=0\), da \(y=0\). Solución: \(x=1\), \(y=0\), \(z=1\).