Funciones

1. Concepto de función

Una función relaciona dos magnitudes de modo que a cada valor de la variable independiente \(x\) le corresponde un único valor de la variable dependiente \(y=f(x)\).

Se puede describir de cuatro maneras:

  • Enunciado: “cada kilo de naranjas cuesta 1,80 €”.
  • Tabla de valores.
  • Expresión algebraica (fórmula): \(y=1{,}8\,x\).
  • Gráfica: puntos \((x,y)\) en unos ejes de coordenadas.
\(x\) (kg) 0 1 2 3
\(y\) (€) 0 1,8 3,6 5,4
Nota¿Es una función?

Una gráfica es de una función si cualquier recta vertical la corta como mucho en un punto. Una circunferencia no es la gráfica de una función: sus rectas verticales la cortan en dos puntos.

Una parábola cortada una vez por una recta vertical y una circunferencia cortada dos veces

A la izquierda, cada recta vertical corta a la gráfica en un único punto: es una función. A la derecha, la circunferencia no lo es.

2. Dominio y recorrido

  • Dominio: valores de \(x\) para los que la función está definida.
  • Recorrido (imagen): valores de \(y\) que toma.

Ejemplos:

  • \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) no existe en \(x=2\): dominio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
  • \(f(x)=\sqrt{x-3}\) exige \(x-3\geq0\): dominio \([3,+\infty)\) y recorrido \([0,+\infty)\).
  • \(f(x)=x^2\): dominio \(\mathbb{R}\) y recorrido \([0,+\infty)\).

3. Características de una función

Se estudian sobre la gráfica:

Característica Qué es
Puntos de corte con el eje \(OX\) (\(y=0\), los ceros) y con el eje \(OY\) (\(x=0\))
Crecimiento crece si al aumentar \(x\) aumenta \(y\); decrece si disminuye; es constante si no cambia
Máximo / mínimo relativo punto más alto / bajo en su entorno
Continuidad se dibuja sin levantar el lápiz; si no, tiene discontinuidades (saltos, huecos, asíntotas)
Simetría par si \(f(-x)=f(x)\) (simétrica respecto del eje \(OY\)); impar si \(f(-x)=-f(x)\) (simétrica respecto del origen)
Periodicidad se repite cada cierto intervalo
Tendencia a qué valor se acerca cuando \(x\) crece mucho

Ejemplo: \(f(x)=x^2-4\). Cortes con \(OX\): \(x^2=4\), es decir, \(x=\pm2\). Corte con \(OY\): \(f(0)=-4\). Es par. Decrece en \((-\infty,0)\), crece en \((0,+\infty)\) y tiene un mínimo en \((0,-4)\).

4. Tasa de variación

La tasa de variación media (T.V.M.) de \(f\) en \([a,b]\) mide cuánto cambia \(y\) por cada unidad que cambia \(x\):

\[\text{T.V.M.}[a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Si es positiva, la función crece de media en el intervalo; si es negativa, decrece. Para \(f(x)=x^2\) en \([1,3]\): \(\dfrac{9-1}{3-1}=4\). Para una recta, la T.V.M. es siempre la pendiente.

5. Interpretar gráficas

Ejemplo: la gráfica muestra la temperatura (en °C) de una ciudad a lo largo de un día.

Gráfica de temperatura en función de la hora: baja hasta las 6 de la mañana, sube hasta las 15 horas y vuelve a bajar

Temperatura a lo largo de un día. Mínimo a las 6 h, máximo a las 15 h.
  • La temperatura mínima es de \(8^\circ\)C a las 6 h y la máxima de \(26^\circ\)C a las 15 h.
  • Crece entre las 6 h y las 15 h y decrece de 0 a 6 h y de 15 a 24 h.
  • La T.V.M. entre las 6 h y las 15 h es \(\dfrac{26-8}{15-6}=2\) °C por hora.
AdvertenciaEscalas de los ejes

Al leer una gráfica fíjate en la escala y en las unidades de los ejes. Una misma función parece más o menos pendiente según cómo se dibuje.

TipResumen rápido
  • Función: a cada \(x\) le corresponde un único \(y\).
  • Dominio: valores de \(x\) posibles. Recorrido: valores de \(y\) obtenidos.
  • Cortes: \(y=0\) con \(OX\) y \(x=0\) con \(OY\).
  • T.V.M.\([a,b]=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Debes saber hacer

  • Reconocer si una correspondencia es una función y expresarla con tabla, fórmula o gráfica.
  • Calcular el dominio y el recorrido de funciones sencillas.
  • Hallar puntos de corte, crecimiento, extremos y simetría en una gráfica.
  • Calcular e interpretar la tasa de variación media.
  • Interpretar gráficas de situaciones reales.

Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.D.5.1, MAT.3.D.5.3, MAT.3.D.3.