Cuerpos geométricos

1. Poliedros

Un poliedro es un cuerpo limitado por polígonos llamados caras. Los lados de las caras son las aristas y los puntos donde se unen varias aristas, los vértices.

Relación de Euler (poliedros convexos): \(C+V=A+2\). Un cubo tiene \(6+8=12+2\).

Poliedros regulares

Tienen todas las caras iguales y regulares. Solo hay cinco, los sólidos platónicos:

Poliedro Caras Vértices Aristas
Tetraedro 4 triángulos 4 6
Cubo (hexaedro) 6 cuadrados 8 12
Octaedro 8 triángulos 6 12
Dodecaedro 12 pentágonos 20 30
Icosaedro 20 triángulos 12 30

Prismas y pirámides

  • Prisma: dos bases iguales y paralelas y caras laterales que son paralelogramos (rectángulos en el prisma recto).
  • Pirámide: una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en el vértice.

2. Áreas y volúmenes de poliedros

Prisma recto (base de área \(A_b\) y perímetro \(P_b\), altura \(h\)):

\[A_L=P_b\cdot h\qquad A_T=A_L+2A_b\qquad V=A_b\cdot h\]

Pirámide regular (apotema de la pirámide \(a_p\)):

\[A_L=\frac{P_b\cdot a_p}{2}\qquad A_T=A_L+A_b\qquad V=\frac13A_b\cdot h\]

La apotema \(a_p\) de la pirámide, la altura \(h\) y la apotema de la base \(a_b\) forman un triángulo rectángulo: \(a_p^2=h^2+a_b^2\).

Ejemplos:

  • Ortoedro de \(4\times3\times5\) cm: \(V=60\) cm³, \(A_T=2(12+20+15)=94\) cm², diagonal \(d=\sqrt{4^2+3^2+5^2}=\sqrt{50}\approx7{,}07\) cm.
  • Pirámide regular de base cuadrada de lado \(6\) y altura \(4\): \(a_p=\sqrt{4^2+3^2}=5\); \(A_L=\dfrac{24\cdot5}{2}=60\), \(A_T=96\) y \(V=\dfrac13\cdot36\cdot4=48\).

3. Cuerpos de revolución

Se generan al girar una figura plana alrededor de un eje.

Cuerpo Generado por \(A_L\) \(A_T\) \(V\)
Cilindro (radio \(r\), altura \(h\)) un rectángulo \(2\pi rh\) \(2\pi r(h+r)\) \(\pi r^2h\)
Cono (generatriz \(g\)) un triángulo rectángulo \(\pi rg\) \(\pi r(g+r)\) \(\dfrac13\pi r^2h\)
Esfera (radio \(r\)) un semicírculo \(4\pi r^2\) \(\dfrac43\pi r^3\)

En el cono, \(g^2=r^2+h^2\).

Ejemplos:

  • Lata (cilindro) de \(r=3\) cm y \(h=10\) cm: \(V=90\pi\approx282{,}74\) cm³ \(\approx0{,}28\) litros; \(A_T=78\pi\approx245{,}04\) cm².
  • Cono de \(r=3\) y \(h=4\): \(g=5\), \(A_T=24\pi\approx75{,}40\) y \(V=12\pi\approx37{,}70\).
  • Esfera de radio \(5\) cm: \(A=100\pi\approx314{,}16\) cm² y \(V=\dfrac{500\pi}{3}\approx523{,}60\) cm³.

Desarrollo plano de un cilindro formado por un rectángulo y dos círculos, y de un cono con un sector circular y un círculo

Desarrollo plano de un cilindro y de un cono: el área lateral es un rectángulo y un sector circular.
NotaCapacidad

\(1\) dm³ \(=1\) litro. Y \(1\) m³ \(=1\,000\) L, \(1\) cm³ \(=1\) mL. Una piscina de \(8\times4\times1{,}5\) m tiene \(48\) m³ \(=48\,000\) L.

4. Secciones, planos de simetría y coordenadas geográficas

  • Una sección plana es la figura que resulta al cortar un cuerpo con un plano. Un cilindro cortado por un plano paralelo a la base da un círculo, y por un plano que contiene al eje, un rectángulo. Una esfera siempre da un círculo.
  • Los cuerpos tienen planos de simetría: un cubo tiene 9 y un cilindro, infinitos que contienen al eje.
  • En la esfera terrestre, un punto se localiza con la longitud (meridianos, de \(0^\circ\) a \(180^\circ\) al este u oeste del de Greenwich) y la latitud (paralelos, de \(0^\circ\) a \(90^\circ\) al norte o sur del ecuador).

5. Semejanza de cuerpos

Si dos cuerpos son semejantes con razón \(k\), sus áreas están en razón \(k^2\) y sus volúmenes en razón \(k^3\). Un cono con la mitad de altura y de radio (\(k=\frac12\)) tiene \(\frac14\) del área y \(\frac18\) del volumen.

AdvertenciaUnidades de volumen

Un volumen se mide en unidades cúbicas. Pasa todas las medidas a la misma unidad antes de calcular, y recuerda que \(1\) m³ \(=1\,000\) dm³ y \(1\) dm³ \(=1\,000\) cm³.

TipResumen rápido
  • Euler: \(C+V=A+2\).
  • Prisma: \(V=A_b\,h\). Pirámide y cono: \(V=\frac13A_b\,h\).
  • Cilindro: \(V=\pi r^2h\). Esfera: \(V=\frac43\pi r^3\) y \(A=4\pi r^2\).
  • Cono: \(g^2=r^2+h^2\). Pirámide: \(a_p^2=h^2+a_b^2\).

Debes saber hacer

  • Reconocer prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, y comprobar la relación de Euler.
  • Calcular áreas laterales y totales de los cuerpos geométricos.
  • Calcular volúmenes y pasarlos a capacidades (litros).
  • Resolver problemas de la vida real con cuerpos geométricos.

Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.B.2.1, MAT.3.B.2.2, MAT.3.C.1.1, MAT.3.B.1.