Movimientos y semejanzas

1. Transformaciones geométricas

Una transformación hace corresponder a cada punto \(P\) del plano otro punto \(P'\), su imagen. Los movimientos (isometrías) conservan la forma y el tamaño: longitudes, ángulos y áreas no cambian. Son la traslación, el giro y la simetría. La semejanza conserva la forma pero cambia el tamaño.

2. Traslaciones

Una traslación de vector \(\vec v=(a,b)\) desplaza todos los puntos la misma distancia y en la misma dirección y sentido:

\[P(x,y)\longmapsto P'(x+a,\ y+b)\]

Ejemplo: la traslación de vector \(\vec v=(3,-2)\) lleva \(A(1,4)\) a \(A'(4,2)\) y \(B(-2,0)\) a \(B'(1,-2)\). Todos los puntos y la figura completa se mueven igual, sin girar.

3. Giros

Un giro de centro \(O\) y ángulo \(\alpha\) hace girar cada punto un ángulo \(\alpha\) alrededor de \(O\) (en sentido contrario a las agujas del reloj si \(\alpha>0\)). Cumple \(OP=OP'\).

Con centro en el origen:

Giro \(P(x,y)\longmapsto P'\)
\(90^\circ\) \((-y,\ x)\)
\(180^\circ\) \((-x,\ -y)\)
\(270^\circ\) \((y,\ -x)\)

Ejemplo: al girar \(P(3,1)\) un ángulo de \(90^\circ\) alrededor del origen resulta \(P'(-1,3)\). El giro de \(180^\circ\) se llama simetría central.

Una figura tiene simetría de rotación si coincide consigo misma al girarla un cierto ángulo. Un cuadrado, con \(90^\circ\); un triángulo equilátero, con \(120^\circ\); una estrella de cinco puntas, con \(72^\circ\).

4. Simetrías axiales

La simetría axial respecto de una recta \(e\) (eje) lleva cada punto \(P\) a \(P'\) de modo que \(e\) es la mediatriz del segmento \(PP'\).

  • Respecto del eje \(OX\): \((x,y)\longmapsto(x,-y)\).
  • Respecto del eje \(OY\): \((x,y)\longmapsto(-x,y)\).
  • Respecto de la recta \(y=x\): \((x,y)\longmapsto(y,x)\).

Ejemplo: el simétrico de \(P(2,5)\) respecto del eje \(OY\) es \(P'(-2,5)\).

Un triángulo en el plano cartesiano con tres imágenes: trasladado, simétrico respecto del eje vertical y girado noventa grados

La figura azul, su traslación, su simetría respecto del eje \(y\) y su giro de \(90^\circ\) respecto del origen.
NotaMosaicos y arte andalusí

Los mosaicos de la Alhambra de Granada y de la Mezquita de Córdoba se construyen repitiendo una pieza mediante traslaciones, giros y simetrías. Sus patrones se clasifican según los movimientos que los dejan invariantes (los 17 grupos de simetría del plano), y los de la Alhambra son un ejemplo clásico para estudiarlos.

5. Teorema de Tales y semejanza

Teorema de Tales: si dos rectas se cortan por rectas paralelas, los segmentos que determinan son proporcionales.

\[\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{AB}{A'B'}\]

Un triángulo grande y, dentro, otro triángulo pequeño con un lado paralelo al lado opuesto del grande

Si \(A'B'\) es paralela a \(AB\), los triángulos \(OA'B'\) y \(OAB\) son semejantes y sus lados son proporcionales.

Ejemplo: una persona de \(1{,}8\) m proyecta una sombra de \(1{,}2\) m. En ese mismo momento, un árbol de altura \(x\) proyecta una sombra de \(7{,}2\) m: \(\dfrac{x}{1{,}8}=\dfrac{7{,}2}{1{,}2}\Rightarrow x=10{,}8\) m.

Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. La razón entre lados correspondientes es la razón de semejanza \(k\).

  • Los ángulos no cambian.
  • Las longitudes (lados, perímetros) se multiplican por \(k\).
  • Las áreas se multiplican por \(k^2\).
  • Los volúmenes se multiplican por \(k^3\).

Ejemplo: dos triángulos semejantes con \(k=3\). Si el pequeño tiene perímetro \(12\) cm y área \(10\) cm², el grande tiene perímetro \(36\) cm y área \(90\) cm².

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si:

  1. Tienen dos ángulos iguales.
  2. Tienen los tres lados proporcionales.
  3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Teoremas del cateto y de la altura (ampliación)

Dentro de un triángulo rectángulo con altura sobre la hipotenusa aparecen triángulos semejantes que dan el teorema del cateto (\(a^2=c\cdot m\)) y el teorema de la altura (\(h^2=m\cdot n\)).

6. Escalas

Una escala \(1:E\) es la razón de semejanza entre el dibujo y la realidad. En un plano a escala \(1:200\), un salón de \(3{,}5\) cm por \(2\) cm mide en la realidad \(7\) m por \(4\) m, y su superficie real es \(7\cdot4=28\) m².

AdvertenciaÁreas y volúmenes no escalan igual

Si las longitudes se multiplican por \(k\), las áreas lo hacen por \(k^2\) y los volúmenes por \(k^3\). Una maqueta a escala \(1:50\) tiene \(\frac{1}{2\,500}\) del área y \(\frac{1}{125\,000}\) del volumen.

NotaGeoGebra

GeoGebra tiene las herramientas Traslación, Rotación y Reflexión: dibuja un polígono, aplícale cada movimiento y comprueba que longitudes y ángulos no cambian. Con Homotecia puedes comprobar cómo cambian las áreas con la razón de semejanza.

TipResumen rápido
  • Movimientos: traslación \((x+a,y+b)\), giro, simetría. No cambian forma ni tamaño.
  • Giro de \(90^\circ\): \((x,y)\to(-y,x)\). Simetría respecto de \(OY\): \((x,y)\to(-x,y)\).
  • Semejanza de razón \(k\): longitudes \(\times k\), áreas \(\times k^2\), volúmenes \(\times k^3\).
  • Tales: paralelas \(\Rightarrow\) segmentos proporcionales.

Debes saber hacer

  • Aplicar una traslación, un giro o una simetría a un punto o a una figura y escribir sus coordenadas.
  • Reconocer los movimientos y las simetrías en mosaicos y en el arte andalusí.
  • Aplicar el teorema de Tales y los criterios de semejanza de triángulos.
  • Usar escalas y la razón de semejanza: las longitudes se multiplican por \(k\), las áreas por \(k^2\) y los volúmenes por \(k^3\).

Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.C.3, MAT.3.C.1.2, MAT.3.C.4.2, MAT.3.F.3.3.