Lugares geométricos, áreas y perímetros
1. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto son los catetos (\(a\), \(b\)) y el lado opuesto es la hipotenusa (\(c\)), el mayor de los tres.
\[c^2=a^2+b^2\]
Se puede usar de tres formas:
- Hipotenusa: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Con catetos \(6\) y \(8\): \(c=\sqrt{100}=10\).
- Cateto: \(a=\sqrt{c^2-b^2}\). Con \(c=13\) y \(b=5\): \(a=\sqrt{144}=12\).
- Reconocer un triángulo rectángulo: si \(c^2=a^2+b^2\), es rectángulo. \((5,12,13)\) lo es; \((4,5,6)\) no, porque \(16+25=41\neq36\). Las ternas como \((3,4,5)\) se llaman ternas pitagóricas.
Aplicaciones
- Diagonal de un rectángulo de lados \(a\) y \(b\): \(d=\sqrt{a^2+b^2}\). En una pantalla de \(48\) por \(27\) cm, \(d\approx55{,}07\) cm.
- Altura de un triángulo isósceles de lados iguales \(5\) y base \(6\): \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\).
- Distancia entre dos puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\): \(d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Entre \((1,2)\) y \((5,5)\): \(\sqrt{16+9}=5\).
En el arte y la arquitectura andalusí aparece la proporción cordobesa, la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y su lado: \(c=\dfrac{R}{l}\approx1{,}3066\). Se relaciona con el teorema de Pitágoras. El número de oro es otra proporción famosa, \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618\).
2. Lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una propiedad.
| Lugar geométrico | Propiedad de sus puntos | Figura |
|---|---|---|
| Circunferencia de centro \(O\) y radio \(r\) | distan \(r\) de \(O\) | línea curva cerrada |
| Mediatriz de un segmento \(AB\) | equidistan de \(A\) y de \(B\) | recta perpendicular por el punto medio |
| Bisectriz de un ángulo | equidistan de los dos lados | recta que divide el ángulo en dos iguales |
| Paralelas a una recta \(r\) a distancia \(d\) | distan \(d\) de \(r\) | dos rectas paralelas a \(r\) |
Puntos notables de un triángulo
- Circuncentro: cortan las tres mediatrices. Equidista de los vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita.
- Incentro: cortan las tres bisectrices. Equidista de los lados y es el centro de la circunferencia inscrita.
- Baricentro: cortan las tres medianas. Está a \(\frac23\) de cada vértice, y es el centro de gravedad.
- Ortocentro: cortan las tres alturas.
Ejemplo: tres pueblos \(A\), \(B\) y \(C\) quieren construir un centro de salud a la misma distancia de los tres. Debe estar en el circuncentro del triángulo \(ABC\).
3. Perímetros y áreas de figuras planas
| Figura | Área | Perímetro |
|---|---|---|
| Cuadrado de lado \(l\) | \(l^2\) | \(4l\) |
| Rectángulo \(a\times b\) | \(a\cdot b\) | \(2a+2b\) |
| Triángulo (base \(b\), altura \(h\)) | \(\dfrac{b\cdot h}{2}\) | suma de los lados |
| Paralelogramo | \(b\cdot h\) | \(2(a+b)\) |
| Rombo (diagonales \(D\), \(d\)) | \(\dfrac{D\cdot d}{2}\) | \(4l\) |
| Trapecio (bases \(B\), \(b\)) | \(\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\) | suma de los lados |
| Polígono regular (apotema \(a\)) | \(\dfrac{P\cdot a}{2}\) | \(P=n\cdot l\) |
| Círculo de radio \(r\) | \(\pi r^2\) | \(2\pi r\) (longitud) |
| Sector circular de \(n^\circ\) | \(\dfrac{\pi r^2\, n}{360}\) | arco: \(\dfrac{2\pi r\, n}{360}\) |
| Corona circular (\(R\), \(r\)) | \(\pi(R^2-r^2)\) | \(2\pi(R+r)\) |
Ejemplos:
- Hexágono regular de lado \(6\) cm. La apotema es \(a=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}\approx5{,}20\) cm, por lo que \(A=\dfrac{36\cdot\sqrt{27}}{2}\approx93{,}53\) cm².
- Sector circular de \(60^\circ\) y radio \(9\) cm: \(A=\dfrac{\pi\cdot81\cdot60}{360}\approx42{,}41\) cm².
- Figuras compuestas: se descomponen en figuras conocidas, sumando o restando áreas. Una pista de atletismo formada por un rectángulo \(60\times30\) m y dos semicírculos de radio \(15\) m tiene área \(1\,800+\pi\cdot15^2\approx2\,506{,}86\) m².
El área se mide en unidades cuadradas (m², cm²). Todas las medidas deben estar en la misma unidad antes de operar: \(1\) m² \(=10\,000\) cm².
Con la herramienta de mediatriz y de bisectriz de GeoGebra puedes construir los puntos notables de un triángulo y comprobar que las tres mediatrices se cortan en un punto, el circuncentro. Mueve un vértice y observa cómo se desplazan.
- Pitágoras: \(c^2=a^2+b^2\) solo en triángulos rectángulos.
- Mediatriz: equidista de dos puntos. Bisectriz: equidista de dos rectas. Circunferencia: equidista de un punto.
- Circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), baricentro (medianas), ortocentro (alturas).
- Polígono regular: \(A=\frac{P\cdot a}{2}\). Círculo: \(A=\pi r^2\), \(L=2\pi r\).
Debes saber hacer
- Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar lados, diagonales y distancias entre puntos.
- Reconocer la circunferencia, la mediatriz y la bisectriz como lugares geométricos.
- Situar el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro de un triángulo.
- Calcular perímetros y áreas de figuras planas, de sectores circulares y de figuras compuestas.
Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.B.2.1, MAT.3.C.1.2, MAT.3.C.1.3, MAT.3.C.2, MAT.3.C.4.1.