Sistemas de ecuaciones
1. Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una ecuación como \(2x+y=7\) tiene infinitas soluciones: cada una es una pareja \((x,y)\), por ejemplo \((1,5)\), \((2,3)\) o \((0,7)\). Al representarlas en el plano se obtiene una recta.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas busca las parejas que cumplen las dos a la vez:
\[\begin{cases}2x+y=7\\ x-y=-1\end{cases}\]
Su solución es \(x=2\), \(y=3\) (se comprueba: \(4+3=7\) y \(2-3=-1\)).
2. Métodos de resolución
Sustitución
Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. De \(x-y=-1\) sale \(x=y-1\); en la primera: \(2(y-1)+y=7\Rightarrow3y=9\Rightarrow y=3\) y \(x=2\).
Igualación
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan. De \(y=7-2x\) y \(y=x+1\) resulta \(7-2x=x+1\Rightarrow x=2\) e \(y=3\).
Reducción
Se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y al sumar desaparezca.
\[\begin{cases}3x+2y=12\\ 5x-4y=-2\end{cases}\xrightarrow{\ 2\cdot E_1\ }\begin{cases}6x+4y=24\\ 5x-4y=-2\end{cases}\xrightarrow{\ \text{sumando}\ }11x=22\Rightarrow x=2,\ y=3\]
Sustitución si alguna incógnita tiene coeficiente \(1\) o \(-1\); reducción si los coeficientes son más grandes; igualación si ya aparece despejada la misma incógnita en ambas.
3. Interpretación gráfica y clasificación
Cada ecuación es una recta, y la solución del sistema son los puntos comunes:
| Posición de las rectas | Soluciones | Sistema |
|---|---|---|
| Se cortan en un punto | una | compatible determinado |
| Coinciden | infinitas | compatible indeterminado |
| Son paralelas | ninguna | incompatible |
Para \(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\) se compara \(\dfrac{a_1}{a_2}\), \(\dfrac{b_1}{b_2}\) y \(\dfrac{c_1}{c_2}\):
- Si \(\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}\): se cortan.
- Si \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}\): coinciden.
- Si \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2}\): son paralelas.
Ejemplos: \(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\) es indeterminado (la segunda es el doble de la primera), y \(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=5\end{cases}\) es incompatible.
4. Sistemas no lineales sencillos
Cuando una ecuación es de segundo grado se despeja en la lineal y se sustituye.
\[\begin{cases}x+y=5\\ x\cdot y=6\end{cases}\Rightarrow y=5-x\Rightarrow x(5-x)=6\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x=2\text{ o }x=3\]
Las soluciones son \((2,3)\) y \((3,2)\).
5. Problemas con sistemas
- Elige dos incógnitas y di qué representan.
- Escribe dos ecuaciones con los datos.
- Resuelve el sistema.
- Comprueba que cumple el enunciado.
Ejemplo: en una cafetería, 2 cafés y 3 bollos cuestan \(8{,}10\) €, y 3 cafés y 2 bollos cuestan \(7{,}65\) €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
\[\begin{cases}2c+3b=8{,}10\\3c+2b=7{,}65\end{cases}\Rightarrow c=1{,}35\text{ euros},\quad b=1{,}80\text{ euros}\]
Comprobación: \(2\cdot1{,}35+3\cdot1{,}80=2{,}70+5{,}40=8{,}10\) y \(3\cdot1{,}35+2\cdot1{,}80=4{,}05+3{,}60=7{,}65\).
- Métodos: sustitución, igualación y reducción (dan el mismo resultado).
- Rectas que se cortan, coinciden o son paralelas \(\Rightarrow\) una, infinitas o ninguna solución.
- Problemas: dos incógnitas, dos ecuaciones, resolver y comprobar.
Debes saber hacer
- Resolver un sistema 2×2 por sustitución, igualación y reducción.
- Clasificar un sistema (una solución, infinitas o ninguna) y relacionarlo con la posición de las rectas.
- Resolver sistemas sencillos con una ecuación de segundo grado.
- Plantear y resolver problemas con sistemas de ecuaciones.
Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.D.4.1, MAT.3.D.4.3, MAT.3.D.2.1, MAT.3.D.2.2.