Lenguaje algebraico y polinomios
1. Del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico
El álgebra usa letras para representar cantidades desconocidas o que pueden variar. Una letra que puede tomar distintos valores es una variable.
| Lenguaje cotidiano | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número | \(2x\) |
| Un número aumentado en 5 | \(x+5\) |
| El cuadrado de la suma de dos números | \((x+y)^2\) |
| La suma de los cuadrados de dos números | \(x^2+y^2\) |
| Tres números consecutivos | \(x,\ x+1,\ x+2\) |
| Un múltiplo de 3 | \(3k\) |
| Precio con un \(20\,\%\) de descuento | \(0{,}8\,p\) |
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones. Su valor numérico se obtiene sustituyendo las letras: si \(x=3\), entonces \(2x^2-5x+1=18-15+1=4\).
2. Monomios y polinomios
Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o varias letras con exponente natural (parte literal). Su grado es la suma de los exponentes: \(-4x^3y\) tiene coeficiente \(-4\) y grado \(4\). Son semejantes los monomios con la misma parte literal, y solo estos se suman:
\[5x^2-3x^2+x^2=3x^2 \qquad 2x^2+3x\ \text{no se simplifica}\]
Un polinomio es una suma de monomios. Con una variable se ordena de mayor a menor grado:
\[P(x)=4x^3-2x^2+x-7\]
Su grado es el del término de mayor grado (aquí \(3\)); \(-7\) es el término independiente. El valor numérico en \(x=2\) es \(P(2)=32-8+2-7=19\).
3. Operaciones con polinomios
Suma y resta: se suman o restan los coeficientes de los monomios semejantes.
\[(3x^2-x+5)-(x^2+4x-2)=2x^2-5x+7\]
Producto: se multiplica cada término de uno por cada término del otro y se reducen los semejantes.
\[(x-3)(2x^2+x-1)=2x^3+x^2-x-6x^2-3x+3=2x^3-5x^2-4x+3\]
Potencias y paréntesis: \((-2x)^3=-8x^3\) y \((x^2)^3=x^6\).
División de polinomios
Se divide como los números: se divide el término de mayor grado del dividendo entre el del divisor, se multiplica y se resta. Se repite hasta que el resto tenga grado menor que el divisor.
\[\frac{x^3+2x^2-5x+1}{x-2}\ :\quad \text{cociente }x^2+4x+3,\quad\text{resto }7\]
Se comprueba con dividendo = divisor \(\cdot\) cociente + resto: \((x-2)(x^2+4x+3)+7=x^3+2x^2-5x+1\).
Al dividir \(P(x)\) entre \(x-a\), el resto es \(P(a)\). Aquí \(P(2)=8+8-10+1=7\). Si \(P(a)=0\), \(P(x)\) es divisible entre \(x-a\) y \(a\) es una raíz.
4. Identidades notables
Son productos que conviene recordar:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
\((a+b)^2\neq a^2+b^2\). Falta el doble producto \(2ab\). Por ejemplo, \((3+4)^2=49\), pero \(3^2+4^2=25\).
Ejemplos: \((x+5)^2=x^2+10x+25\); \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\); \((3x+2)(3x-2)=9x^2-4\).
5. Factorización
Factorizar es escribir un polinomio como producto de otros de menor grado.
- Factor común: \(6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)\).
- Identidad notable (leída al revés): \(x^2-16=(x+4)(x-4)\) y \(x^2+6x+9=(x+3)^2\).
- Raíces: si \(a\) es raíz, aparece el factor \((x-a)\). Para \(x^2-5x+6\) las raíces son \(2\) y \(3\), y \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
Factorizar permite simplificar fracciones algebraicas:
\[\frac{x^2-9}{x^2-3x}=\frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x}\qquad(x\neq0,\ x\neq3)\]
- Solo se suman monomios semejantes.
- \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\) y \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
- Dividendo \(=\) divisor \(\cdot\) cociente \(+\) resto. El resto de dividir entre \(x-a\) es \(P(a)\).
- Factorizar: factor común, identidades notables y raíces.
Debes saber hacer
- Traducir enunciados al lenguaje algebraico y calcular el valor numérico de una expresión.
- Sumar, restar y multiplicar polinomios.
- Desarrollar y reconocer las identidades notables.
- Dividir polinomios y comprobar el resultado; relacionar el resto con el valor numérico.
- Factorizar sacando factor común, con identidades notables o por sus raíces.
Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.D.2.1, MAT.3.D.2.2, MAT.3.D.3, MAT.3.D.4.2.