Proporcionalidad numérica
1. Razón y proporción
La razón entre dos cantidades \(a\) y \(b\) es el cociente \(\dfrac{a}{b}\). Una proporción es la igualdad de dos razones:
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c\]
Si falta un término, se calcula con el producto cruzado: de \(\dfrac{18}{11}=\dfrac{72}{x}\) sale \(x=\dfrac{11\cdot72}{18}=44\).
2. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. El cociente \(\dfrac{y}{x}=k\) es constante: la constante de proporcionalidad.
Ejemplo: 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €. Entonces \(k=\dfrac{4{,}50}{3}=1{,}50\) €/kg, y 7 kg cuestan \(7\cdot1{,}50=10{,}50\) €.
Regla de tres directa: \(\dfrac{3}{7}=\dfrac{4{,}50}{x}\Rightarrow x=\dfrac{7\cdot4{,}50}{3}=10{,}50\) €.
3. Magnitudes inversamente proporcionales
Son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese número. El producto \(x\cdot y=k\) es constante.
Ejemplo: 6 operarios hacen una obra en 10 días. Con 15 operarios (al mismo ritmo) tardarán \(x\) días: \(6\cdot10=15\cdot x\Rightarrow x=4\) días.
Pregúntate: si una magnitud aumenta, ¿la otra también aumenta? Más kilos, más dinero: directa. Más operarios, menos días: inversa. Sin esta pregunta es fácil equivocarse.
Regla de tres compuesta
Se usa cuando intervienen más de dos magnitudes. Se analiza cada una respecto a la incógnita (directa o inversa) y se combinan.
Ejemplo: 8 máquinas fabrican 960 piezas en 6 horas. ¿Cuántas piezas fabrican 5 máquinas en 9 horas? Piezas es directa con máquinas y con horas:
\[x=960\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{9}{6}=900\text{ piezas}\]
Repartos proporcionales
Para repartir una cantidad \(T\) en partes proporcionales a \(a,\ b,\ c\) (directo), cada parte es \(T\cdot\dfrac{a}{a+b+c}\). Ejemplo: repartir \(1\,200\) € entre tres socios que aportaron \(2\,000\), \(3\,000\) y \(5\,000\) €. La suma es \(10\,000\) y reciben \(240\), \(360\) y \(600\) €. En un reparto inverso se reparte en proporción a los inversos \(\frac1a,\frac1b,\dots\)
4. Porcentajes
El tanto por ciento \(r\,\%\) es la razón \(\dfrac{r}{100}\).
- Porcentaje de una cantidad: \(\dfrac{r}{100}\cdot C\). El \(15\,\%\) de \(240\) es \(36\).
- ¿Qué porcentaje es \(a\) de \(b\)?: \(\dfrac{a}{b}\cdot100\). \(18\) de \(120\) es el \(15\,\%\).
- Cantidad total si se conoce una parte: \(C=\dfrac{\text{parte}}{r/100}\). Si el \(15\,\%\) es \(36\), el total es \(240\).
Aumentos y disminuciones porcentuales
Se usan los índices de variación, que multiplican directamente la cantidad inicial:
\[\text{aumento del }r\,\%:\ 1+\frac{r}{100}\qquad\text{disminución del }r\,\%:\ 1-\frac{r}{100}\]
Una camiseta de \(30\) € con un \(20\,\%\) de descuento cuesta \(30\cdot0{,}80=24\) €. Con un IVA del \(21\,\%\) sobre \(80\) €, el precio final es \(80\cdot1{,}21=96{,}80\) €. Para obtener el precio sin IVA: \(96{,}80:1{,}21=80\) €.
Variaciones porcentuales encadenadas
Los índices se multiplican. Un precio sube un \(10\,\%\) y luego baja un \(10\,\%\):
\[1{,}10\cdot0{,}90=0{,}99\quad\Rightarrow\quad\text{el precio final es un }1\,\%\text{ menor}\]
Subir un \(10\,\%\) y bajar un \(10\,\%\) no deja el precio igual, porque el segundo porcentaje se calcula sobre una cantidad distinta.
5. Interés simple y compuesto
Con un capital \(C\), un tanto anual \(r\,\%\) y \(t\) años:
- Interés simple: los intereses no se reinvierten. \(I=C\cdot\dfrac{r}{100}\cdot t\).
- Interés compuesto: los intereses se suman al capital cada año. \(C_t=C\cdot\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^t\).
Con \(5\,000\) € al \(4\,\%\) durante \(3\) años: simple, \(I=5\,000\cdot0{,}04\cdot3=600\) € (total \(5\,600\) €); compuesto, \(5\,000\cdot1{,}04^3=5\,624{,}32\) €.
6. Educación financiera y escalas
- Precio unitario: para comparar ofertas se calcula el precio por unidad (por kilo, litro…). Un pack de 6 yogures a 2,10 € sale a 0,35 € cada uno; uno de 4 a 1,56 €, a 0,39 €.
- Cambio de divisas: es una proporcionalidad directa. Si \(1\) € equivale a \(1{,}08\) dólares, \(250\) € son \(270\) dólares.
- Escala \(1:E\): \(1\) cm del plano son \(E\) cm de la realidad. Con escala \(1:25\,000\), \(4\) cm del mapa son \(100\,000\) cm \(=1\) km.
Para comparar ofertas, calcula en una hoja el precio unitario de cada una (=precio/unidades). Para el interés compuesto escribe el capital en A1 y =A1*1,05 en A2 y arrastra: cada fila es un año.
- Directa: \(y/x\) constante. Inversa: \(x\cdot y\) constante.
- Aumento del \(r\,\%\): multiplica por \(1+r/100\); disminución: por \(1-r/100\).
- Variaciones encadenadas: se multiplican los índices.
- Interés compuesto: \(C(1+r/100)^t\).
Debes saber hacer
- Distinguir la proporcionalidad directa de la inversa y resolver reglas de tres simples y compuestas.
- Calcular porcentajes, aumentos y disminuciones porcentuales con índices de variación.
- Encadenar variaciones porcentuales y deshacer un aumento o un descuento.
- Calcular interés simple e interés compuesto.
- Comparar ofertas con el precio unitario, interpretar facturas (IVA) y usar escalas y cambios de divisas.
Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.A.5.1, MAT.3.A.5.2, MAT.3.A.5.3, MAT.3.A.2.5, MAT.3.A.6.1, MAT.3.A.6.2.