Potencias y raíces
1. Potencias de exponente entero
Una potencia \(a^n\) con \(n\) natural es el producto de \(n\) factores iguales a \(a\). La base es \(a\) y el exponente es \(n\).
\[2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32 \qquad (-3)^2=9 \qquad (-3)^3=-27\]
Con base negativa, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar. Y \(-3^2=-9\) (el signo no está dentro de la base), pero \((-3)^2=9\).
Definiciones para los demás exponentes enteros (\(a\neq0\)):
\[a^0=1 \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]
Ejemplo: \(5^{-2}=\dfrac{1}{25}\) y \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=\dfrac{27}{8}\).
2. Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | \(2^3\cdot2^4=2^7\) |
| Cociente de igual base | \(a^m:a^n=a^{m-n}\) | \(3^5:3^2=3^3\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) | \((5^2)^3=5^6\) |
| Producto de igual exponente | \(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\) | \(2^3\cdot5^3=10^3\) |
| Cociente de igual exponente | \(a^n:b^n=(a:b)^n\) | \(12^2:4^2=3^2\) |
Se aplican para simplificar. Ejemplo:
\[\frac{2^5\cdot4^{-1}}{8^2}=\frac{2^5\cdot2^{-2}}{2^6}=\frac{2^3}{2^6}=2^{-3}=\frac{1}{8}\]
3. Notación científica
Los números muy grandes o muy pequeños se escriben como \(a\cdot10^n\), con \(1\leq a<10\) y \(n\) entero. Si \(n>0\) el número es grande; si \(n<0\), pequeño.
\[149\,600\,000\ \text{km}=1{,}496\cdot10^{8}\ \text{km} \qquad 0{,}000\,000\,53=5{,}3\cdot10^{-7}\]
Operaciones. En el producto y el cociente se operan por separado los coeficientes y las potencias de 10. En la suma y la resta se saca factor común la menor potencia (o se igualan los exponentes).
\[(3{,}2\cdot10^{5})\cdot(2\cdot10^{-2})=6{,}4\cdot10^{3} \qquad 4{,}5\cdot10^{6}+3\cdot10^{5}=4{,}5\cdot10^{6}+0{,}3\cdot10^{6}=4{,}8\cdot10^{6}\]
En la calculadora, la tecla de exponente (EXP o ×10ˣ) permite introducir estos números.
4. Raíces
La raíz \(n\)-ésima de \(a\) es el número \(b\) que elevado a \(n\) da \(a\):
\[\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a\]
\(\sqrt{49}=7\) porque \(7^2=49\), y \(\sqrt[3]{-8}=-2\) porque \((-2)^3=-8\). Si el índice es par, el radicando no puede ser negativo y la raíz es no negativa. Una raíz que no es exacta es un número irracional (\(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{5}\)).
Se puede escribir como potencia de exponente fraccionario:
\[\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n} \qquad \sqrt[3]{2^6}=2^2=4\]
Propiedades
\[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b} \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}\]
\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Por ejemplo \(\sqrt{9+16}=5\), pero \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).
Simplificar y extraer factores
Se descompone el radicando en factores primos y se sacan fuera los que tengan exponente igual o mayor que el índice.
\[\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=2\cdot3\sqrt{2}=6\sqrt{2} \qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2\cdot3^3}=3\sqrt[3]{2}\]
Operar con radicales
Solo se suman o restan radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando), sacando factor común:
\[3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2} \qquad \sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\]
Racionalizar
Racionalizar es quitar la raíz del denominador, multiplicando numerador y denominador por esa raíz:
\[\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} \qquad \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}\]
5. Aproximaciones y errores
Al aproximar un valor \(x\) por otro \(\tilde{x}\):
- Error absoluto: \(E_a=|x-\tilde{x}|\).
- Error relativo: \(E_r=\dfrac{E_a}{|x|}\) (se suele dar en %).
Ejemplo: \(\sqrt{2}\approx1{,}41\) tiene \(E_a\approx0{,}0042\) y \(E_r\approx0{,}30\,\%\). Cuanto menor es el error relativo, mejor es la aproximación.
- \(a^0=1\) y \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Igual base: se suman o restan exponentes.
- Notación científica: \(a\cdot10^n\) con \(1\leq a<10\).
- \(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\). Para simplificar, factoriza el radicando.
- Solo se suman radicales semejantes. \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).
- Racionalizar: multiplica por la raíz arriba y abajo.
Debes saber hacer
- Calcular potencias de exponente entero (positivo, cero y negativo) y aplicar sus propiedades.
- Expresar números muy grandes o muy pequeños en notación científica y operar con ellos.
- Calcular raíces, escribirlas como potencias y extraer factores de un radical.
- Sumar, restar, multiplicar y racionalizar radicales sencillos.
- Aproximar un número y calcular el error absoluto y el error relativo.
Saberes de la Orden de 30 de mayo de 2023 (BOJA nº 104) que se trabajan en este tema: MAT.3.A.2.1, MAT.3.A.2.3, MAT.3.A.2.2, MAT.3.A.3.3, MAT.3.A.3.5.